РЕШЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Методы операционного исчисления, основанные на идее использования преобразования Лапласа являются наиболее эффективным при решении основных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.
Неизвестная функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных и заданным условиям, может быть определена с помощью однократноголибо двукратногопреобразования Лапласа.
В первом случае преобразование Лапласа применяют к дифференциальному уравнению в частных производных по одной из двух независимых переменных в предположении, что другая остается неизменной. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения искомой функции интегрируется не операционным методом, а классическим. Возвращаясь от полученного изображения к оригиналу, находим решение поставленной задачи.
Во втором случае к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно изображения искомой функции опять применяют преобразование Лапласа, но по другой независимой переменной. В результате получают алгебраическое уравнение, из которого находят «двукратное» изображение искомой функции. С помощью двух обратных преобразований Лапласа восстанавливается искомая функция
Решение дифференциального уравнения, найденное с помощью двукратного преобразования Лапласа, не зависит от того, в какой последовательности применялись прямые и обратные преобразования.
Удачно выбранный порядок в двукратном преобразовании может значительно облегчить решение задачи.
Операционный метод удобнее применять при решении задач математической физики, если:
начальные условия нулевые;
существуют изображения для всех функций, входящих в уравнение;
изображение искомого решения удовлетворяет следующим условиям:
Пример 1
Найти решение уравнения , если
Применим преобразование Лапласа по переменной , тогда
Заданное уравнение примет вид:
и решим методом Бернулли.
Согласно этому методу,
Осуществляя данную подстановку в уравнение, получим
или
Решая первое уравнение системы, получим
или
Подставим найденную функцию W во второе уравнение, будем иметь:
Откуда
Тогда
Так как
-изображение по Лапласу, то и тогда принимаем С=0, то есть
Возвращаясь к оригиналу, получим
Пример 2.
Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям ,
Сначала применим преобразование Лапласа по переменной , получим
Условие примет вид
Применим преобразование Лапласа еще раз, но уже по переменной , получим
Это алгебраическое уравнение относительно «двукратного» изображения -
Решим его:
Возвращаясь к оригиналу по p, получаем:
Возвращаясь к оригиналу по q, получаем:
Пример 3.
Найти формулу колеблющейся струны, закрепленной на концах, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальные отклонения заданы соотношением
Подстановка задачи: найти решение уравнения , , неравное тождественно нулю, удовлетворяющее граничным условиям:
Будем решать эту задачу методом Лапласа. Применим преобразование Лапласа по переменной t, предварительно переписав уравнение в виде
Будем иметь
Граничные условия при этом примут вид:
Относительно изображения искомого решения – функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, неоднородное, с правой частью специального вида. Его решение
где - общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение
Тогда общее решение однородного уравнения примет вид
- частное решение неоднородного уравнения. Его вид с точностью до неопределенных коэффициентов будет
Для нахождения B и C вычислим:
и подставим в уравнение:
Отсюда имеем:
Тогда
Для нахождения С1 и С2 удовлетворим граничным условиям:
Очевидно, что С1= С2=0.
Таким образом, имеем
Возвращаясь к оригиналу, получим:
Пример 4.
Найти решение уравнения теплопроводности , удовлетворяющие начальному условию , где и граничным условиям и .
Применяя к уравнению теплопроводности преобразование Лапласа по переменной t, получим:
Граничные условия при этом примут вид:
Перепишем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:
Его общее решение:
где - общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение:
Тогда
Второе слагаемое есть частное решение неоднородного уравнения.
Оно имеет вид .
Тогда
Подставляя в уравнение, находим:
Отсюда
Тогда
Удовлетворим граничным условиям:
При этом
Возвращаясь к оригиналу, получим:
или
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 390;