Конечные разности решетчатых функций.
Выражение
(11.1)
называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции, или просто первой разностью.
Ясно, что - представляет собой решетчатую функцию, для которой может быть вычислена конечная разность. Т.о. первая разность от решетчатой функции называется разностью второго порядка решетчатой функции , или просто второй разностью
(11.2)
Разность к – го порядка решетчатой функции определяется формулой
(11.3)
Разность любого порядка можно выразить через значения решетчатой функции .
(11.4)
Аналогично для третьей разности:
(11.5)
Для разности произвольного порядка к справедлива формула
(11.6)
где . так называемые биноминальные коэффициенты, такие что:
.
Пример.
Формулы (11.1)-(11.6) позволяют выразить саму решетчатую функцию через её разности различных порядков.
Из (11.1)
(11.7)
Из (11.2)
откуда
. (11.8)
Используя равенство (11.3) при к=3 и равенства (11.4), (11.7), (11.8) получим
(11.9)
Продолжая вычисления можно получить общую формулу
, (11.10)
при n=0
(11.11)
Формулы (11.10) и (11.11) выражают значения решетчатой функции через её конечные разности до порядка l включительно. Эти формулы являются дискретным аналогом разложения непрерывных функций в ряд Тейлора.
Примеры.
1). ,
.
2). .
3).
4).
Отметим, что операция взятия конечных разностей является линейной операцией, что следует из определения конечной разности
.
Используя выражение (11.1), можно вывести формулу для вычисления разности произведений 2-х функций
.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 316;