Суммирование решетчатых функций.
Рассмотрим теперь операцию, которая является обратной по отношению к операции взятия конечной разности. Пусть решетчатая функция определена при положительных значениях аргумента n=0,1,2… Требуется найти такую решетчатую функцию F(n), для которой функция является первой разностью.
Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций.
Искомая функция имеет вид
.
Действительно,
Функцию F(n) называют первообразной для решетчатой функции .
Если F(n) является первообразной для , то и функция F(n)+С так же является первообразной для .
Если решетчатая функция определена при всех целочисленных значениях аргумента , то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечном n сходился ряд
.
При этом условии первообразная определяется выражением
.
И общий вид первообразной для данной решетчатой функции определяется формулой
.
Значение постоянной С можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента n=N.
.
Откуда,
.
для любого n>N.
Эта формула является аналогом формулы Ньютона – Лейбница, а выражение стоящее справа иногда называют определенной суммой.
Эту формулу можно преобразовать:
Учитывая, что можно записать и так.
, а
при N=0 получим
.
Пример. Для найти сумму F(n).
по формуле суммы членов геометрической прогрессии.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 253;