Трехфазное короткое замыкание (КЗ) в неразветвленной цепи

Рассмотрим простейшую симметричную трехфазную цепь (рис.3.1). В такой цепи условно принято, что на ее левом от точки КЗ участке между фазами имеется взаимоиндукция "М", а на правом - нет. Цепь присоединена к источнику бесконечной мощности.

Рис.3.1. Простейшая трехфазная электрическая цепь, где U_А=U_m·sinwt, U_В=U_m·sin(wt-120°), U_С=U_m·sin(wt-240°) - мгновенные значения фазных напряжений источника питания

Рассмотрим векторную диаграмму токов и напряжений простейшей трехфазной цепи (рис.3.2). Пусть векторы , , , , , характеризуют предшествующий установившийся режим данной цепи. Вертикальная линия t-t является временной осью. Мгновенные значения отдельных величин определяются проекциями на эту ось соответствующих, вращающихся векторов. Момент возникновения КЗ будет фиксироваться значением угла a, который называется фазой включения между вектором напряжения фазы А и горизонтальной осью (см. рис. 3.2).

После возникновения короткого замыкания электрическая цепь (см. рис.3.1) распадается на два участка. Участок с R₁ и L₁ оказывается зашунтированным КЗ и ток на этом участке будет поддерживаться до тех пор, пока запасенная в индуктивности L₁ энергия магнитного поля не перейдет в тепло, поглощаемое активным сопротивлением R₁.

Дифференциальное уравнение равновесия напряжений в каждой фазе этого участка:

. (3.1)

Его решение общеизвестно:

. (3.2)

Рис. 3.2. Векторная диаграмма для начального момента трехфазного КЗ, где i_п.А, i_п.С - мгновенные значения токов в соответствующих фазах

Уравнение (3.2) показывает, что в цепи имеется только свободный ток, который затухает по экспоненте с постоянной времени:

, с (3.3)

Начальное мгновенное значение свободного тока i₍₀₎ в каждой фазе зашунтированного участка цепи равно мгновенному значению тока предшествовавшего режима работы, т.к. в цепи с индуктивностью ток не может измениться скачком. Очевидно, что начальные мгновенные значения токов в фазах i₍₀₎ будут различны по величине, хотя их затухание происходит с одной и той же электромагнитной постоянной времени. В одной из фаз свободный ток может вообще отсутствовать, если в момент возникновения КЗ ток предшествующего режима проходил через нуль (в этом случае свободные токи в других фазах будут равные по величине, но противоположные по направлению).

На рис. 3.3 приведены кривые изменения фазных токов в зашунтированном участке с учетом того, что КЗ произошло в момент, приведенный на рис.3.2.

Рис.3.3. Осциллограмма токов предшествующего режима и зашунтированных коротким замыканием цепи

Перейдем теперь к участку цепи, который остался присоединенным к источнику бесконечной мощности. В этой цепи, кроме свободного тока, будет протекать принужденный ток, величина которого больше тока предшествующего режима и сдвиг по фазе между током и напряжением иной. Ток становится больше и сдвиг по фазе изменяется из-за того, что уменьшается величина полного сопротивления цепи и изменяется соотношение между индуктивным и активным сопротивлениями. Допустим, что векторы , , (см. рис. 3.2) характеризуют новый установившийся режим для данного участка цепи.

Дифференциальное уравнение равновесия напряжений для любой фазы, например, фазы А этого участка:

(3.4)

Известно, что сумма мгновенных значений тока при симметричной нагрузке равна нулю. Тогда можно записать:

-i_A.к = (i_B.к + i_C.к). (3.5)

С учетом выражения (3.5) уравнение (3.4) запишется в следующем виде:

(3.6)

где = (L_к - M) - результирующая индуктивность фазы, т.е. индуктивность с учетом влияния двух других фаз. Уравнение (3.6) для фаз В и С будет таким же, только с соответствующими индексами.

Решение уравнения (3.6) имеет вид:

, (3.7)

где U_m - амплитудное значение напряжения на зажимах источника бесконечной мощности;

z_к - полное сопротивление присоединенного к источнику участка цепи (цепь короткого замыкания);

j_к - угол сдвига вектора тока относительно вектора напряжения источника (сдвиг по фазе);

i_a(0) - начальное значение свободного тока;

- электромагнитная постоянная времени цепи короткого замыкания.

Первый член правой части уравнения (3.7) представляет периодическую составляющую тока КЗ i_п, которая является принужденным током с постоянной амплитудой I_m.п = U_m/z_к. Второй член представляет затухающий по экспоненте свободный ток (его называют апериодической составляющей тока КЗ). Начальное значение апериодической составляющей (для времени t=0) определяется из начальных условий, т.е. когда ток в цепи с индуктивностью не

может измениться скачком и будет равен начальному значению предшествующего короткому замыканию режима:

(3.8)

После подстановки в выражение (3.8) формулы i_a(0) = I_m.п·sin(a-j_к) получим:

i_a(0) = I_m·sin(a-j) - I_m.п·sin(a-j_к), (3.9)

где - амплитудное значение тока предшествующего режима.

Поскольку мгновенные значения токов i_п(0) и i₍₀₎ являются проекциями векторов и на ось времени (см. рис. 3.2), то ток i_а(0) также можно рассматривать как проекцию вектора ( - ) на ту же ось времени. В зависимости от фазы включения a мгновенное значение апериодической составляющей тока КЗ i_а(0) может изменяться от возможно максимальной величины, когда вектор ( - ) параллелен оси времени t-t, до нуля (когда этот вектор перпендикулярен к ней). В трехфазной системе такие частные условия могут быть только лишь в одной из фаз.

На рис. 3.4 представлена кривая изменения тока КЗ в фазе А рассматриваемого участка цепи (левого от точки КЗ) при трехфазном коротком замыкании. Таким образом, имея осциллограмму тока КЗ можно графически определить апериодическую и периодическую составляющие тока. Апериодическая составляющая тока КЗ определяется как средняя точка между огибающими тока КЗ. Например, для момента времени t₁ i_а.t1 будет равна отрезку MN. Отрезок FM равен отрезку МЕ. Для любого момента времени последнее равенство отрезков будет соблюдаться.

Как видно из рис. 3.4, чем больше начальное значение апериодической составляющей тока КЗ i_a(0), тем больше смещение кривой полного тока КЗ i_K относительно оси времени. Апериодическую составляющую тока КЗ можно рассматривать как криволинейную ось симметрии полного тока КЗ, из которого ее легко выделить, проведя огибающие по положительным и отрицательным амплитудным значениям осциллограммы полного тока КЗ.

Из рис. 3.2 и формулы (3.9) следует, что в общем случае наибольшее начальное значение апериодической составляющей тока КЗ i_a(0) определяется не только фазой включения a, сдвигом фаз j и j_К, но и током предшествующего режима I_m и периодической составляющей I_m.п. Так, например, при отсутствии тока предшествующего режима I_m = 0 величина i_а(0) равна амплитуде периодической составляющей I_m.п и достигнет своего максимума, если в момент КЗ вектор I_m.п пройдет через свой положительный или отрицательный максимумы.

При какой же величине фазы включения a полный ток КЗ будет иметь наибольшее значение, если I_m = 0? Из выражений (3.7) и (3.9) и при отсутствии тока предшествующего режима (I_m = 0) будем иметь следующую формулу полного тока КЗ:

. (3.10)

Из выражения (3.10) видно, что полный ток КЗ является функцией двух независимых переменных: времени t и фазы включения для какой-то определенной точки КЗ, т.е. когда j_к является константой. Приравняв к нулю частные производные выражения (3.10) и совместно решив полученные два уравнения, найдем условие, при котором наступит максимум полного тока КЗ.

Рис. 3.4. Кривые изменения токов в фазе А при трехфазном коротком замыкании

Но выражение tg(a-j_к) может быть равно отношению х_к/R_к только при a = 0. Следовательно, мгновенное значение полного тока КЗ может достигать максимума при условии, что цепь до КЗ разомкнута, т.е. I_m = 0, а напряжение на зажимах источника питания в момент возникновения КЗ проходит через нуль (a = 0).

Для высоковольтных цепей индуктивное сопротивление х_К преобладает над активным R_к, т.е. j_к » 90°. Поэтому условие возникновения наибольшего значения апериодической составляющей тока КЗ и условие, при котором достигает максимума мгновенное значение полного тока КЗ очень близки друг к другу. Таким образом, в практических расчетах максимальное мгновенное значение полного тока КЗ, которое называют ударным током i_У, обычно находят при наибольшем значении апериодической составляющей i_а(0) = I_m.п. Этот случай рассматривается как расчетный и используется для проверки выбранных коммутационных аппаратов по токам КЗ. Таким образом, i_У достигает максимума при следующих параметрах:

a = 0; j_к » 90°; I_m = 0.

Это говорит о том, что КЗ происходит на каком-то очень коротком ответвлении без нагрузки. В этом случае сопротивлением этого ответвления можно пренебречь.

На рис. 3.5 приведена расчетная схема замещения, а рис. 3.6 осциллограмма тока КЗ для этого расчетного случая.

Рис. 3.5. Трехфазная схема замещения для расчетного случая тока КЗ

Рис. 3.6. Осциллограмма тока КЗ в фазе А при наибольшем начальном значении апериодической составляющей i_а(0)

В фазах В и С токи будут симметричные и иметь равные начальные значения i_а(0). Ударный ток i_У в фазе А наступает примерно через 0,01с при частоте питающей сети f = 50 Гц.

Таким образом, выражение для ударного тока КЗ можно записать в следующем виде:

(3.11)

где к_у - ударный коэффициент, равный

. (3.12)

Ударный коэффициент показывает превышение ударного тока над амплитудой периодической составляющей тока КЗ и характеризует удаленность точки КЗ от источника питания. Ударный коэффициент изменяется в пределах:

1 < к_у < 2,

что соответствует предельным значениям Т_а.к, т.е. Т_а.к = 0 (при L_К = 0) и Т_а.к = ¥ (при R_К = 0). Чем ближе точка КЗ будет находиться к источнику питания, тем выше ударный коэффициент. Если величина к_у близка к двум, то это говорит, что точка КЗ находится очень близко к зажимам источника питания.

Естественно, чем меньше Т_а.к, тем быстрее затухает апериодическая составляющая и тем соответственно меньше к_у. В сетях высокого напряжения апериодическая составляющая практически исчезает через 0,1...0,3 с, а в сетях низкого напряжения она практически незаметна.

Ввиду того, что апериодические составляющие тока КЗ в фазах различные, то называть трехфазное КЗ симметричным, строго говоря, нельзя. Утверждение, что трехфазное КЗ симметричное, справедливо лишь для периодических составляющих тока короткого замыкания.