ЭЛЕКТРОСТАТИКА. Законы электростатики

1. Электростатика – раздел теории электричества, изучающий взаимодействие неподвижных друг относительно друга электрических зарядов. Основные понятия – электрический заряд и электростатическое, то есть не изменяющееся во времени электрическое поле. Источником электростатического поля является электрические заряды. Без электрических зарядов электростатическое поле не существует.

Основные законы электростатики были открыты в XVIII и XIX столетиях. Они выполняются достаточно строго также в тех случаях, когда заряды двигаются друг относительно друга со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме.

К основным законам электростатики относятся закон существования двух родов электрических зарядов, закон сохранения заряда, закон квантованности электрических зарядов, закон Кулона.

2. Закон существования двух родов электрических зарядов. В 1733 г. француз Шарль Дюфе установил, что «существуют два рода электрических зарядов – стеклянное и смоляное. Разноименные заряды притягиваются, одноименные – отталкиваются».

Смоляное электричество появлялось на янтаре, а стеклянное – на стекле, на драгоценных камнях, на шерсти животных. В 1747 г. американец Бенджамин Франклин предложил называть стеклянное электричество положительным и обозначать знаком «+» (плюс), а смоляное – отрицательным и обозначать знаком «–» (минус).

При соприкосновении всегда электризуются оба тела. В паре эбонит+мех эбонит электризуется отрицательно, мех – положительно. В паре металл+шерсть металл заряжается отрицательно, шерсть – положительно. В паре металл+каучук металл электризуется положительно, каучук – отрицательно. Основными носителями положительных зарядов являются протоны, отрицательных – электроны.

3. Закон сохранения электрического заряда. Он был осознан по совокупности физических фактов в XVIII веке. Алгебраическая сумма электрических зарядов любой изолированной (или замкнутой) системы остается постоянной, какие бы процессы не происходили внутри этой системы. Полный заряд такой системы есть релятивистский инвариант. Его величина не зависит от выбора системы отсчета и от скорости движения зарядов. Изолированной считается здесь такая система, через границы которой не проникает вещество. Свет может входить и выходить из системы.

Вначале закон сохранения заряда был открыт по аналогии с законами сохранения импульса и механической энергии. Поэтому он мог рассматриваться как постулат, которому подчинялись без исключения все электрические опыты. Начиная с XX в. после наблюдения актов аннигиляции частиц с античастицами (электрон+позитрон) закон сохранения заряда может считаться уже эмпирическим законом, доказанным прямым экспериментом.

4.Закон квантованности (дискретности) электрических зарядов (XIX в.). Делимость электрических зарядов ограничена неким минимальным зарядом e, называемым элементарным. Зарядов, меньших элементарного, в природе нет. Положительный e₊ и отрицательный e_– элементарные заряды равны по абсолютной величине, |e₊|=|e_–|.

Идея дискретности электрических зарядов появилась после опытов Майкла Фарадея по электролизу (1834 г.). Из них следовало, что количество отложившегося на электродах вещества во всех случаях пропорционально величине электрического заряда, прошедшего через электролит. Этот факт можно объяснить лишь тем, что каждая отложившаяся на электроде частица вещества переносит одну и ту же порцию электрического заряда.

В 1881 г. Герман Гельмгольц сделал такую оценку, а Джозеф Томсон в 1897 г. в опытах с катодными лучами подтвердил идею существования атомов электричества – электронов и измерил их удельный заряд. Абсолютную величину элементарного заряда впервые определил с высокой точностью в 1909 г. американец Роберт Милликен.

Схема одного из вариантов установки Милликена показана на рис.1.

Сквозь отверстие O в верхней пластине горизонтально расположенного плоского воздушного конденсатора внутрь него попадали капельки распылявшегося масла. Под действием ионизирующего излучения источника S (препарат радия в свинцовом контейнере) капельки могли приобретать и терять электрический заряд.

Если на конденсатор подать напряжение U, то из множества капель в поле зрения микроскопа М можно выделить ту, которая движется кверху со скоростью, приемлемой для визуального наблюдения. Раз капля движется вверх, то это значит, что она имеет некоторый заряд q. Измерения выполнялись так:

а. Пластины конденсатора замыкались между собой накоротко (переключатель Пк ставился в левое по рис.1 положение). Электрическое поле в конденсаторе исчезало. Капля под действием силы тяжести падала равномерно вниз со скоростью v₁. Сила тяжести уравновешивалась силой вязкого сопротивления воздуха F_S1 (рис.2-а). Уравнение движения капли в проекции на вертикальную ось ОY имеет вид: –mg + F_S1 = 0. (2.1)

б. На конденсатор подавалось напряжение U (переключатель Пк ставился в правое по рис.1 положение). Капля начинала двигаться вверх в электрическом поле напряжённостью E=U| d со скоростью v₂ (рис.2-б). Уравнение движения капли в проекции на ось Y имеет вид:

–mg–F_S2+qE=0. (2.2)

Так как F_S1= 6πhrv₁, а F_S2= 6πhrv₂, где h – вязкость воздуха, а r – радиус капли, то система уравнений принимает вид:

. (2.3)

Разделив 2-е уравнение на 1-е, получаем заряд капли . (2.4)

Милликен наблюдал некоторые капли в течение нескольких десятков минут, многократно поднимая их вверх, измеряя скорость подъема v₂, а затем измеряя скорость v₁ опускания капли.

Если напряжение U на конденсаторе не менять, то коэффициент перед скобкой остается постоянным. Поэтому при перезарядке капли в случае дискретного изменения заряда q скорость подъёма капли должна изменяться тоже ступенчато.

Для вычисления абсолютного заряда капли нужно из формулы (2.4) исключить ее вес. Это можно сделать, используя режим свободного падения капли с плотностью ρ. Так как mg = (4πr³| 3)ρg = 6πhrv₁, то, выразив отсюда радиус капли и подставив его в выражение веса капли, получаем: и . (2.5)

В итоге всех экспериментов после исследования тысяч капель Милликен нашел величину минимального заряда. Его современное значение составляет

e = (1,6021892±0,0000046)·10⁻¹⁹ Кл.

Опыты, выполненные в 60-е годы XX в. с атомными пучками цезия и с молекулярным водородом, показали, что отрицательный и положительный элементарные заряды если и отличаются по абсолютной величине между собой, то не более чем на 10⁻²⁰e.

В макроскопической электростатике дискретность зарядов не имеет практического значения. Дифференциальные объемы заряженных тел обычно содержат огромное количество элементарных зарядов. Это позволяет считать изменение зарядов непрерывным.

Однако в строении материи и в физическом портрете Вселенной дискретность зарядов играет решающую роль.

5.Закон Кулона. В 1785 г. Шарль Кулон, изучая взаимодействие маленьких заряженных шариков, сформулировал закон их взаимодействия.

Два точечных заряда q₁ и q₂ взаимодействуют друг с другом в вакууме с силой, пропорциональной произведению зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. . (2.6)

Здесь r – расстояние между зарядами, k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Сила F взаимодействия зарядов направлена вдоль прямой, проходящей через заряды.

Чтобы задать направление силы и написать закон Кулона в векторной форме, нужно определить положение одного заряда относительно другого. Если - вектор, проведенный от заряда q₁ к заряду q₂ (рис.3-а), то сила действия заряда q₁ на заряд q₂ равна

. (2.7)

Направление действия силы определится направлением вектора (рис.3-б).

Отношение есть единичный вектор. Он указывает направление силы, не меняя ее величины.

Если взаимодействующие заряды находятся в диэлектрике, то есть в веществе, не проводящем электричество, то сила уменьшается по сравнению с вакуумом в ε раз.

Величину ε называют диэлектрической проницаемостью среды.

Формула закона Кулона в однородной бесконечно протяженной диэлектрической среде в системе единиц СИ имеет вид: . (2.8)

В вакууме ε = 1, в диэлектриках ε > 1, в металлах ε = ∞, в сверхпроводниках ε < 0.

Размерный коэффициент ε₀ называют электрической постоянной. Она связана со скоростью света c и вычисляется через нее с точностью, с которой измерена скорость света.

.

Единица заряда q в СИ – кулон (Кл).

Современный опыт позволяет утверждать, что закон Кулона справедлив в интервале расстояний по кр. мере от 10⁻¹⁶ до 10⁵ м.

6. Опыты Кулонапо изучению взаимодействия зарядов включали в себя изучение взаимодействия одноименных зарядов и изучение взаимодействия разноименных зарядов.

а. Взаимодействие одноименных зарядов исследовалось Кулоном с помощью изобретенных им крутильных весов (рис.4-а).

К подвижной головке 1 на тонкой серебряной проволоке 2 подвешено коромысло 3 из стекла. На одном конце коромысла крепился бузиновый шарик 5 диаметром около 5 мм. Рядом с ним на металлическом стержне 9 неподвижно укреплен точно такой же шарик 6. На другом конце коромысла закреплен бумажный диск 4, игравший роль противовеса и демпфера. На головке 1 и на стеклянном сосуде 7 нанесены круговые шкалы 8 и 10 с ценой деления 1°.

В основу количественных измерений Кулон положил экспериментально доказанный им закон кручения упругих проволок , (2.9)

где М – момент силы, закручивающий проволоку, j – угловая деформация кручения проволоки, d и l – диаметр и длина проволоки. Коэффициент k зависит от материала и профиля сечения проволоки.

Измерения сводились к двум группам ответов.

1-я группа ответов.Проверка зависимости F~ 1çr².

В нейтральном состоянии шарики 5 и 6 слегка касаются между собой. Угол деформации проволочной нити j = 0.

Через металлический стержень 9 от заряженного тела заряжается шарик 6. Заряд распределяется поровну между шариками 5 и 6. Шарики расходятся на расстояние r, которое можно определить из угла j₁ поворота коромысла и его плеча R (рис.4-б).

Равновесию соответствует равенство моментов: (2.10)

Если постепенно закручивать нить, вращая головку 1 по часовой стрелке (по рис. 1а) и приближая шарик 5 к шарику 6, то для какого-то другого расстояния r₂ уравнение моментов принимает вид: (2.11)

Разделив второе уравнение на первое, получаем: (2.12)

Кулон установил, что с уменьшением расстояния r между шариками в 2 раза, сила электрического отталкивания возрастала в 4 раза, при уменьшении расстояния в 3 раза, сила возрастала в 9 раз и так далее. Отсюда следует, что электрическая сила отталкивания между шариками обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, F~1/r²

2-я группа опытов. Проверка пропорциональности силы F произведению величин зарядов, F ~ q₁q₂.

Через металлический стержень 9 от заряженного тела заряжался шарик 6. Заряды распределяются поровну, на каждом из шариков 5 и 6 заряд q. Шарики расходятся на расстояние r₁, коромысло поворачивается на угол j₁, нить закручивается на угол j₁. Заземленным проводником снимается заряд с неподвижного шарика 6. Шарик 5 подходит к шарику 6, заряд с подвижного шарика делится поровну, на каждом из шариков заряд qç2. Шарики расходятся на угол j много меньший прежнего угла j₁. Вращением головки 1 против часовой стрелки (по рис. 4-а) подвижный шарик возвращается на прежнее расстояние r₁. Угол закручивания нити стал j ₂.

Снимается заряд с неподвижного шарика и снова, после деления заряда пополам, подвижный шарик возвращается на прежнее расстояние. Повторяя эту процедуру несколько раз, Кулон установил, что после каждого деления сила отталкивания шаров уменьшается в 4 раза. Это доказывает зависимость F ~ q₁q₂.

Действительно F₁= kq², где k – коэффициент пропорциональности. После первого деления сила F₂ = (kqç2)², и F₂çF₁ = (1ç2)² = 1ç4. После второго деления F₃çF₂ = k(qç4)²çkq² =

= (1ç4)² = 1ç16 и так далее.

Так была доказана зависимость F ~ q₁q₂çr² для сил отталкивания.

8. Взаимодействие разноименных зарядов Кулон изучал, положив в основу опытов колебания маятника.

Как установил Гюйгенс в 1673 г. период колебаний математического маятника определяется формулой , (2.13)

где l – длина нити маятника, g – ускорение силы тяжести. Из закона всемирного тяготения Ньютона следует, что , (2.14)

где G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – ее радиус. Подставив (2.14) в (2.13) получаем . (2.15)

Период маятника пропорционален расстоянию от маятника до центра тяготения.

Если электрические силы притяжения изменяются с расстоянием также как и силы тяготения, то есть по закону F ~ 1çr², то период колебаний маятника под действием электрических сил будет так же зависеть от расстояния, как и период математического маятника.

Схема второй установки Кулона показана на рис.5. Большой медный шар 1 диаметром около 35 см. на изолирующей подставке заряжался. Рядом с шаром на тонкой шелковой нити 2 подвешивалось коромысло 3 из натертой воском соломинки длиной 43мм.

На конце коромысла, близком к шару, приклеен диск 4 из позолоченной бумаги, на противоположном конце – шарик-противовес.

Диск 4 заряжался малым зарядом противоположного знака и отклонялся от положения равновесия. Коромысло 3 начинало колебаться. Далее измерялось время 15 колебаний при разных расстояниях d между центром шара 1 и диском 4.

Опыты показали, что и для разноименных зарядов зависимость F ~ 1çr²выполняется с точностью до 10%.