Электрическое поле в вакууме. Напряженность и потенциал

1. Электрическое поле. Это понятие ввел Майкл Фарадей в середине XIX века. Начиная с Фарадея, физика стала рассматривать электрическое поле как особую форму материи, способную переносить действие одного заряда на другой.

Позднее появилось понятие гравитационного поля, магнитного поля, ядерного поля и др. Все поля переносят действие с конечной скоростью. Все поля квантованы, т.е. взаимодействие осуществляется с помощью соответствующих частиц.

Кванты электромагнитного поля не имеют массы покоя, но обладают энергией и импульсом (момпентом импульса).

Источником электромагнитного поля являются электрические заряды. Для измерения и описания поля, созданного неким зарядом Q, нужен еще один заряд q, который можно было бы вносить в разные точки поля заряда Q. Этот вспомогательный заряд q называют пробным. Предполагается, что пробный заряд всегда положителен, а его величина много меньше заряда Q.

2. Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы , действующей на пробный заряд q, к величине этого пробного заряда. . (3.1)

Фарадей предложил графически изображать электрические поля непрерывными силовыми линиями или линиями напря-женности, в каждой точке которых вектор силы или напряженности направлены по касательной к ним. Все линии начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Если поле создается уединенным зарядом Q, то линии уходят на бесконечность. Чем больше заряд Q, тем больше линий выходит из него или заканчивается на нём.

3. Поле точечного заряда. Пусть электрическое поле создается уединенным точечным зарядом Q. Чтобы измерить его в некоторой точке, надо внести в эту точку пробный заряд q. Сила действия поля на заряд q по закону Кулона (3.2)

Здесь – радиус вектор, проведенный из точечного заряда Q в ту точку поля, где находится пробный заряд q (рис.6-а).

Напряженность поля создаваемого зарядом Q, равна (3.3)

Поле уединенного точечного заряда обладает центральной симметрией. На рис.6-б показаны линии поля положительного точечного заряда Q, лежащие в плоскости проходящей через заряд Q. Линии направлены от центра к периферии. Линии поля отрицательного заряда направлены от периферии к центру (рис.6-в).

Достоинством графической интерпретации поля является не только, возможность оценивать по конфигурации линий направление вектора Е, но и возможность оценивать его величину, поскольку густота линий пропорциональна напряженности Е.

Графическое изображение количественных характеристик электрического поля возможно благодаря тому, что поле Е точечного заряда убывает пропорционально 1çr², и на любом расстоянии от заряда r плотность линий, то есть их число на единицу площади поверхности перпендикулярной силовым линиям убывает также пропорционально 1çr².

4. Суперпозиция электрических полей. Чтобы ответить на вопрос; чему равна напряженность поля, создаваемого несколькими различными точечными зарядами, находящимися в разных местах, надо знать, как складываются поля.

Опыт показывает, что сила взаимодействия любых двух зарядов не зависит от наличия других зарядов. Это значит, что сила, действующая со стороны системы зарядов q₁…q_n на пробный заряд q, равна геометрической сумме сил со стороны каждого из них, а напряженность суммарного электрического поля равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

(Закон сложения электрических полей) (3.4)

Способность электрических полей складываться без взаимных искажений называется принципом суперпозиции это объективное свойство линейных силовых полей, известное нам из механики. Благодаря суперпозиции электрических полей существует возможность рассчёта полей системы точечных зарядов и протяженных заряженных макротел.

5. Примеры рассчёта полей. Рассчитать поле - это значит найти значение вектора напряженности Е в каждой точке поля.

Пример 3.1. Поле двух точечных зарядов. Пусть два заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии 2а друг от друга. Надо найти напряженность суммарного поля.

Разместим оба заряда на оси OX декартовой системы координат в точках с координатами q₁(-a,0,0), q₂(+a,0,0). Так как ось OX является осью симметрии системы зарядов, то двумерное решение задачи в плоскости XОY является исчерпывающим.

Напряженность поля в любой точке А с координатами x, y равна сумме напряжённостей (рис.7-а): . (3.5)

Здесь – поле заряда q₁, – поле заряда q₂, E_1x и E_2x – проекции векторов и на ось OX, E_1y и E_2y – проекции векторов на ось OY, и – единичные орты этих осей.

. (3.6)

. (3.7)

. (3.8)

Таким путем можно вычислить поле сколь угодно большего числа точечных зарядов. Достаточно лишь добавить в формулу (3.5) проекции напряжённостей поля следующих зарядов: E_3x, E_3y, E_4x, E_4y и так далее. Если система зарядов не плоская или не имеет оси симметрии, то задача должна решатся в трехмерном пространстве.

Пример 3.2. Поле заряженной нити. Пусть на отрезке нити длиной l имеется заряд с линейной плотностью t, [t] = Клçм. (Численно t – это заряд, приходящийся на 1 м длины нити). Надо найти напряженность поля вокруг нити.

Для вычисления электрического поля, создаваемого протяженным заряженным телом, этот заряд разбивается мысленно на достаточно малые элементы, которые могут считаться точечными зарядами. Поля, создаваемые этими элементами, суммируются (интегрируются).

Поле прямой заряженной нити обладает осевой симметрией, так что достаточно рассчитать поле в плоскости нити. Поместим отрезок заряженной нити вдоль прямой OY. Концы нити находятся в точках с координатами (0,y₁) и (0,y₂) (рис.8).

Возьмем на нити бесконечно малый отрезок dy на расстоянии y от начала координат. Этот отрезок dy несет заряд dq = tdy и может считаться точечным.

Поле dE, создаваемое этим точечным зарядом в точке А, равно: . (3.9)

А его составляющие по осям:

, (3.10)

. (3.11)

Здесь . (3.12)

Интегрировать выражения (3.10) и (3.11) проще по углу j. Так как , то , и . Тогда .

Интегрируя от угла j₁, под которым «виден» нижний конец отрезка, до угла j₂ (верхний конец), получаем: , (3.13)

Где . (3.14)

Вычисляя составляющие Е_x и E_y при различных значениях координат x₀, y₀ точки А, получаем вектор напряженности в любой точке пространства . (3.15)

Около бесконечной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда t силовые линии перпендикулярны к ней и напряжённость поля убывает обратнопропорционально расстоянию R до нити: E = tç2pR.

6. Работа по перемещению электрического заряда. Вычислим работу, совершаемую полем, при перемещении пробного положительного заряда q в поле точечного положительного заряда Q. Считаем, что заряд q перемещается бесконечно медленно от точки а к точке b по какой то произвольной траектории (рис.9).

Работа на бесконечно малом отрезке пути равна , где – сила действующая со стороны заряда Q на пробный заряд q. Работа равна убыли потенциальной энергии системы, dA = -dW. Работа конечного перемещения от а до b найдется интегрированием.

. (3.17)

Так как , то . (3.18)

Если взять точку b на бесконечности, то работа при перемещении заряда q из точки а на бесконечность равна его потенциальной энергии в точке а: . (3.19)

Когда r ® ¥, кулоновская сила обращается в нуль. Поэтому работа разбегания зарядов Q и q с расстояния r_a на бесконечность определяет полную потенциальную энергию системы двух зарядов Q и q, находящихся на расстоянии r_a друг от друга.

Опустив индекс «а», получаем общую формулу для потенциальной энергии системы двух зарядов, находящихся в вакууме на расстоянии r: . (3.20)

7. Потенциал электростатического поля. Если разделить энергию W пробного заряда (3.19) на величину его заряда, то получаем ещё одну энергетическую характеристику поля - потенциал j в точке на расстоянии r от точечного заряда: , (3.21)

Абсолютные значения потенциала и потенциальной энергии взаимодействия зарядов в теории принимаются равными нулю на бесконечности. Практически измерить можно только разность потенциалов или разность потенциальных энергий двух состояний системы зарядов - двух конфигураций зарядов в пространстве. Поэтому, как и в механике при вычислении потенциальной энергии тел в гравитационном поле, за нуль потенциала в электростатике принимают или землю или какое-либо другое достаточно массивное и протяжённое тело с постоянным в условиях опыта потенциалом.

Разность потенциалов двух точек называют обычно напряжением и обозначают U = j₁ - j₂. Работа поля по перемещению заряда q между точками с разностью потенциалов между ними U равна произведению A = qU (3/22)

Потенциал электрического поля - скаляр, в каждой точке поля он определяется одним числом, тогда как напряжённость поля - вектор, в каждой точке поля она определяется тремя числами, своими проекциями на оси: E_x = ¶jç¶x, E_y = ¶jç¶y, E_z = ¶jç¶z. (3.23)

Напряжённость поля не зависит от выбора уровня нулевого потенциала, т.к. определяется только скоростью его изменения в пространстве.

Работа перемещения заряда в электрическом поле не зависит от пути перемещения (3.18). Это говорит о том, что электростатическое поле есть поле консервативных сил. Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю. . (3.24)

Множество точек поля с одинаковым потенциалом непрерывно и образует эквипотенциальную поверхность (от латинского aequi – равно). При перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности работа равна нулю, . (3.25)

Отсюда следует, что линии вектора в любой точке поля ортогональны эквипотенциальной поверхности в этой точке.

Единица потенциала и напряжения с СИ - вольт, 1 В = 1 ДжçКл. Две точки поля имеют разность потенциалов 1 В, если при перемещении между ними заряда в 1 Кл совершается работа 1 Дж.

8. потенциал поля системы зарядов в некоторой точке а относительно точки поля b определяется работой перемещения на единицу положительного заряда из точки а в точку b.

. (3.26)

Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей каждого из зарядов в отдельности. Это утверждение выражает принцип суперпозиции электрических полей для потенциала.

Пример 3.3. Потенциал поля диполя. Электрический диполь – это система из двух равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Электрической характеристикой диполя является его электрический момент , где – вектор направленный от отрицательного заряда к положительному. В примере 3.1 вычислена напряженность электрического поля системы двух точечных зарядов, частным случаем которой является диполь.

Вычислим потенциал поля диполя, воспользовавшись полярными координатами. Электрический момент диполя направим вдоль полярной оси (рис.10).

Потенциал суммарного поля в произвольной точке А относительно бесконечности по принципу суперпозиции есть сумма потенциалов складываемых полей зарядов q_- и q₊.

, (3.27)

Т.к q_- = -q₊, то . (3.28)

Если точка А удалена на большое расстояние от диполя r>>l , то r₁ -r₂ » lcosa, r₁r₂ » r², и . (2.29)

По сравнению с точечным зарядом поле диполя убывает с расстоянием быстрее, потенциал пропорционален 1çr², но не 1çr, как у точечного заряда.

Напряженность можно вычислить через потенциал по формуле . В полярных координатах дифференциальный оператор Ñ (его называют оператором Набла) имеет вид: . (3.30)

Здесь – единичный орт, направленный вдоль по полярному радиусу, – единичный орт, направленный перпендикулярно радиусу в сторону возрастания полярного угла a. Вычислим составляющие вектора .

. (3.31)

. (3.32)

Отсюда . (3.33)

Поле диполя обладает осевой симметрией относительно линии, проходящей через заряды (рис.11). Сплошными линиями изображены линии напряжённости электрического поля, штриховыми – сечения поверхностей равного потенциала - эквипотенциальных поверхностей. На оси диполя его электрический момент , т.к. a = 0, , и . (3.34)

9. Теория электрического поля. Благодаря тому, что закон Кулона очень похож на закон всемирного тяготения Ньютона, к описанию электрических явлений оказалось возможным применить развитую ранее математическую теорию тяготения. Более того, электрическое взаимодействие оказалось богаче гравитационного, поскольку имеет место не только притяжение, но и отталкивание тел. Поэтому разнообразие конкретных приложений феноменологических теорий электрического поля гораздо больше.

В течение XIX века Д. Пуассон, Дж. Грин, М. Фарадей, К. Гаусс, У. Томсон разработали строгую математическую теорию электрического поля. И обобщил ее в общей теории электромагнитного поля Дж. Максвелл.