Замечание о несобственных двойных интегралах.
Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).
Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной неограниченной области. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Интеграл второго рода[6] определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной области и исключающим точку разрыва. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Пример. Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .
Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .Вычислим этот интеграл по области .
.
=
=
Часто расширение математических знаний позволяет решать задачи, которые не получались старыми методами.
Пример. Вычислить интеграл Пуассона .
Неопределенный интеграл «не берется». Но двойной интеграл по области равен
I = .
С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим
I = .
Поэтому = . По четности .
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 913;