Замена переменных в кратных интегралах.

Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (25.12)

Рассмотрим интегральную сумму

где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:

(25.13)

Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:

(25.14)

где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),

, (25.15)

а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства Ouvw.

Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

В тройном интеграле.

Найдем, используя формулы (25.6), (25.7) и (25.15), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:

1) для цилиндрических координат

(25.16)

2) для сферических координат

(25.17)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так: (25.18)

,

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.

Примеры.

1. Вычислим интеграл от функции по области, ограниченной поверхностями ­x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.

1. Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда

.