Задача о массе пространственного тела.
Пусть есть некоторое пространственное материальное тело, занимающее область V, в каждой точке которой задана объемная плотность f(x, y, z). Надо вычислить массу пространственного тела.
Эта задача приводит к понятию тройного интеграла.
Введем разбиение области V на элементарные области, не имеющие общих внутренних точек (условие А) Dvk с малым объемом (обозначение области и ее объема обычно одно и то же, это принято уже более 200 лет и не вносит путаницы).
На каждом элементе разбиения – элементарной области отметим точку Mk(xk, yk, zk). Вычислим плотность в этой точке f(xk, yk, zk) = f(Mk) и предположим, что плотность постоянна в элементарной области. Тогда масса элементарной области Dvk приближенно равна = f(Mk) . Суммируя все такие массы элементарных областей (составляя интегральную сумму), приближенно получим массу области V
Для того, чтобы точно вычислить массу области, остается перейти к пределу при условии (условие B).
.
Так задача о массе пространственной области приводит к тройному интегралу[7].
Введем некоторые ограничения на область интегрирования и подинтегральную функцию, достаточные для существования интеграла[8].
Потребуем, чтобы функция f(M) была непрерывна в области V и на ее границе.
Потребуем, чтобы область V была замкнутой, ограниченной, пространственно-односвязной областью с кусочно-гладкой границей.
Область назовем пространственно-односвязной, если ее можно непрерывной деформацией стянуть в точку.
Теорема существования.Пусть область V и функция f(M)=f(x, y, z) удовлетворяют сформулированным требованиям. Тогда тройной интеграл существует как предел интегральных сумм.
.
Замечание. Предел этот не зависит[9]:
1) от выбора разбиения области, лишь бы выполнялось условие А
2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения
3) от способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие B.
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1113;