Лекция 2. Приложения двойного интеграла.


Теорема.Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда

, где - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P1, P3, P4, P2.

P1
y
x
P3
P4
P2
Q1
Q2
Q4
Q3
v
u

Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),  

 

Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

.

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

 

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью в первом октанте.

.

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

 



Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 918;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.