Уравнения в полных дифференциалах


 

Дифференциальное уравнение вида

 

P(x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1)

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x, у), т.е.

 

P(x, y) dx + Q (x, y) dy = d U(x, у). (2)

 

Т.к. d U(x, у) = dx + dy, то P(x, y) = , Q (x, y) dy = .

Уравнение (1) с учетом (2) можно записать в виде dU (x, y) = 0, поэтому его общий интеграл имеет вид

U (x, y) = С.(3)

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

= . (4)

Имеются два основных способа решения уравнений в полных дифференциалах.

 

Первый способ.

Сначала проверяется условие (4). При его выполнении функция U (x, y)находится из системы уравнений . (5)

 

Пример 14. Решить уравнение у′ = .

Запишем уравнение в дифференциальной форме (2ху – 5)dx + (3y2 + x2) dy = 0. Здесь P(x, y) = 2ху – 5,

Q (x, y) =3y2 + x2. Проверяем условие (4): = 2х, = 2х, т.е. условие (4) выполняется: = . Следовательно, исходное уравнение – уравнение в полных дифференциалах. Система (5) здесь имеет вид . Из первого уравнения имеем: U(x, y) = = x2y – 5x + φ(y) (6)

=> = x2 + φ′(y) . Сравниваем полученное выражение для со вторым уравнением системы:

x2 + φ′(y) = 3y2 + x2 => φ′(y) = 3y2 => φ(y) = y3 + c1, т.е. (из (6)) U(x, y) = x2y – 5x + y3 + c1 =>

 

Общим интегралом исходного уравнения (см. (3)) является x2y – 5x + y3 + c1 = c2 или x2y – 5x + y3 = c,

где с = c2 c1.

Второй способ.

 

Функция U (x, y)находится по формуле

U (x, y) = + ,

где х0 и у0 – произвольные.

 

Пример 15. Решить уравнение (ху) dx + ( x) dy = 0.

Проверяем условие (4): = –1, = –1, т.е. условие (4) выполняется: = =>

U (x, y) = + = + = yx + .

Т.к. х0 и у0произвольные постоянные, то выражение в скобкахconst ( ). => U (x, y) = yx + =>

=> общий интеграл (U (x, y) = ): yx + = => х2у – 2у2х – 2 + Су = 0 ( = ).

 

Замечание. Если условие (4) не выполняется для уравнения (1), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию t (x, y) = t, называемую интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если t = t (x)или t = t (у):

В первом случае t (x)= , причем выражение должно зависеть только от х;

Во втором случае t (у)= , причем выражение должно зависеть только от у.

 

Пример 16. Решить уравнение (х2у) dx + (х2у2 + x) dy = 0.

Здесь = –1, = 2ху2 + 1, т.е. условие (4) не выполняется: . Однако, = =

зависит только от х. Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, а именно, t(x)= = = . Умножая исходное уравнение на t = , получаем:

dx + dy = 0, т.е. уравнение в полных дифференциалах. Решая его, найдем общий интеграл заданного уравнения х + + = С.



Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1500;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.