Уравнения в полных дифференциалах

= . (4)

Имеются два основных способа решения уравнений в полных дифференциалах.

Первый способ.

Сначала проверяется условие (4). При его выполнении функция U (x, y)находится из системы уравнений . (5)

Пример 14. Решить уравнение у′ = .

Запишем уравнение в дифференциальной форме (2ху – 5)dx + (3y² + x²) dy = 0. Здесь P(x, y) = 2ху – 5,

Q (x, y) =3y² + x². Проверяем условие (4): = 2х, = 2х, т.е. условие (4) выполняется: = . Следовательно, исходное уравнение – уравнение в полных дифференциалах. Система (5) здесь имеет вид . Из первого уравнения имеем: U(x, y) = = x²y – 5x + φ(y) (6)

=> = x² + φ′(y) . Сравниваем полученное выражение для со вторым уравнением системы:

x² + φ′(y) = 3y² + x² => φ′(y) = 3y² => φ(y) = y³ + c₁, т.е. (из (6)) U(x, y) = x²y – 5x + y³ + c₁ =>

Общим интегралом исходного уравнения (см. (3)) является x²y – 5x + y³ + c₁ = c₂ или x²y – 5x + y³ = c,

где с = c₂ – c₁.

Второй способ.

Функция U (x, y)находится по формуле

U (x, y) = + ,

где х₀ и у₀ – произвольные.

Пример 15. Решить уравнение (х – у) dx + ( – x) dy = 0.

Проверяем условие (4): = –1, = –1, т.е. условие (4) выполняется: = =>

U (x, y) = + = + = – yx – + .

Т.к. х₀ и у₀ – произвольные постоянные, то выражение в скобках – const ( ). => U (x, y) = – yx – + =>

=> общий интеграл (U (x, y) = ): – yx – + = => х²у – 2у²х – 2 + Су = 0 ( = – ).

Замечание. Если условие (4) не выполняется для уравнения (1), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию t (x, y) = t, называемую интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если t = t (x)или t = t (у):

В первом случае t (x)= , причем выражение должно зависеть только от х;

Во втором случае t (у)= , причем выражение должно зависеть только от у.

Пример 16. Решить уравнение (х² – у) dx + (х²у² + x) dy = 0.

Здесь = –1, = 2ху² + 1, т.е. условие (4) не выполняется: ≠ . Однако, = =

зависит только от х. Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, а именно, t(x)= = = . Умножая исходное уравнение на t = , получаем:

dx + dy = 0, т.е. уравнение в полных дифференциалах. Решая его, найдем общий интеграл заданного уравнения х + + = С.