Уравнения Лагранжа и Клеро


 

Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится решать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся уравнение Лагранжа

 

y = x j ( y¢) + y ( y¢)( 1 )

и уравнение Клеро

y = x y¢ + y ( y¢), ( 2 )

 

где j и y – известные функции от y¢.

Заметим, что оба этих уравнения не разрешены относительно производной y¢.

 

Уравнение Лагранжа (1) интегрируется следующим образом: обозначая р = y¢, запишем уравнение в виде

y = x j (р) + y (р). Дифференцируя полученное уравнение по х, имеем


Уравнение (1) может иметь особое решение вида y = x j(р0) + y( р0), где р0 - корень уравнения р = j (р).

 

Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при j ( y¢) = y¢. Его общее решение имеет вид у = Сх + y (С), особое решение получается путем исключения параметра р из уравнений у = рх + y (р) и

х = –y¢(р).

 

Пример 17. Решить уравнение Клеро у = ху′ + у′2.

 

Общее решение (см. выше) имеет вид у = сх + с2. Особое решение получается путем исключения параметра р из уравнений у = рх + р2 и х = –2р: у = – + , т.е. у = – .

 

 

Дифференциальные уравнения высших порядков

 

Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

 

F (x, y, y¢, y¢¢ ) = 0 ( 1 )

 

или в виде, разрешенным относительно старшей (второй) производной

 

y¢¢ = f (x, y, y¢ ). ( 2 )

 

Решением ДУ2 (1)–(2) называется любая функция у = j (х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функцииу = j (х) называется интегральной кривой.

Задача отыскания решения ДУ(1)–(2), удовлетворяющего заданным начальным условиям у(х0) = у0, у¢ (х0) = у¢0, где х0,у0, у¢ 0 – некоторые числа, называется задачей Коши. Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (1)–(2), проходящую через точку М(х0, у0) с угловым наклоном касательной в этой точке у¢0 .

 

Общим решением уравнения (1)–(2), называется функция у = j (х, С1, С2), зависящая от двух произвольных постоянных С1 и С2 и такая, что:

1) при любых конкретных значениях С1 и С2 она является решением этого уравнения;

2) для любых допустимых начальных условий

 

у(х0) = у0, у¢ (х0) = у¢0, ( 3 )

 

можно подобрать такие значения С10 и С20 постоянных, что функция у = j (х, С10, С20 ) будет удовлетворять этим начальным условиям.

 

Частным решением уравнения (1)–(2) называется функция у = j (х, С10, С20), получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С1 и С2.

 

Геометрически общее решение ДУ2 представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одну из интегральных кривых этого множества.

 

Теорема Коши – (существования и единственности решения ДУ2). Если в уравнении у′′ = f (x, y, y¢) функция f (x, y, y¢) и ее частные производные f ¢у (x, y, y¢) и f ¢у ¢(x, y, y¢) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами (х0, у0, у¢0), то существует и притом единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у(х0) = у0, у¢ (х0) = у¢0.

 

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n–го порядка, которое в общем виде записывается

 

F (x, y, y¢, y¢¢ , … , y(n)) = 0 или y(n) = f (x, y, y¢, y¢¢ , … , y(n1)).(4)

 

Начальные условия для ДУ(4):

 

y|x = x0 = y0, y′|x = x0 = y′0, y′′|x = x0 = y′′0, … , , y(n1)|x = x0 = y0(n1).(5)

Общим решениемДУ n–го порядка называется функция вида у = j (х, С1, С2, … , Сn), содержащая n произвольных, не зависящих от х, постоянных.

Решение ДУ(4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных

С1 = С01, С2 = С02, … , Сn = С0n, называется частным решением.

 

Задача Коши дляДУ n–го порядка: найти решение ДУ(4), удовлетворяющее начальным условиям (5).

 

Проинтегрировать (решить) ДУ n–го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

 

Задача нахождения решения ДУ n–го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассматриваем лишь отдельные виды ДУ высших порядков (≥ 2)



Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 2297;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.