Уравнения Лагранжа и Клеро

Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится решать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся уравнение Лагранжа

Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

F (x, y, y¢, y¢¢ ) = 0 ( 1 )

или в виде, разрешенным относительно старшей (второй) производной

y¢¢ = f (x, y, y¢ ). ( 2 )

Решением ДУ2 (1)–(2) называется любая функция у = j (х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функцииу = j (х) называется интегральной кривой.

Задача отыскания решения ДУ(1)–(2), удовлетворяющего заданным начальным условиям у(х₀) = у₀, у¢ (х₀) = у¢₀, где х₀,у₀, у¢ ₀ – некоторые числа, называется задачей Коши. Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (1)–(2), проходящую через точку М(х₀, у₀) с угловым наклоном касательной в этой точке у¢₀ .

Общим решением уравнения (1)–(2), называется функция у = j (х, С₁, С₂), зависящая от двух произвольных постоянных С₁ и С₂ и такая, что:

1) при любых конкретных значениях С₁ и С₂ она является решением этого уравнения;

2) для любых допустимых начальных условий

у(х₀) = у₀, у¢ (х₀) = у¢₀, ( 3 )

можно подобрать такие значения С₁⁰ и С₂⁰ постоянных, что функция у = j (х, С₁⁰, С₂⁰ ) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Частным решением уравнения (1)–(2) называется функция у = j (х, С₁⁰, С₂⁰), получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С₁ и С₂.

Геометрически общее решение ДУ2 представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одну из интегральных кривых этого множества.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n–го порядка, которое в общем виде записывается

F (x, y, y¢, y¢¢ , … , y⁽ⁿ⁾) = 0 или y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y¢, y¢¢ , … , y^{(n – 1)}).(4)

Начальные условия для ДУ(4):

y|_{x = x0} = y₀, y′|_{x = x0} = y′₀, y′′|_{x = x0} = y′′₀, … , , y^{(n – 1)}|_{x = x0} = y₀^{(n – 1)}.(5)

Общим решениемДУ n–го порядка называется функция вида у = j (х, С₁, С₂, … , С_n), содержащая n произвольных, не зависящих от х, постоянных.

Решение ДУ(4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных

С₁ = С⁰₁, С₂ = С⁰₂, … , С_n = С⁰_n, называется частным решением.

Задача Коши дляДУ n–го порядка: найти решение ДУ(4), удовлетворяющее начальным условиям (5).

Проинтегрировать (решить) ДУ n–го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ n–го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассматриваем лишь отдельные виды ДУ высших порядков (≥ 2)