Вывод дифференциального уравнения движения газа

Теория движения газа в пористой среде была разработана Л.С. Лейбензоном. Он получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа. Б.Б.Лапук в работах, посвященных основам разработки месторождений природных газов, показал в частности, что неустановившуюся фильтрацию газа можно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа подставим в уравнение неразрывности (2.2)

выражения (2.1) для компонент скорости фильтрации

и уравнения состояния (плотности) идеального газа (2.14)

.

Считая коэффициенты пористости m₀, проницаемости k и вязкости m газа постоянными, из уравнения (2.2) на основании (2.1) и (2.14) получим

. (8.1)

Выражения в скобках в левой части уравнения (8.1) можно представить следующим образом:

,

тогда уравнение (8.1) примет вид

. (8.2)

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа относительно Р², поэтому уравнение (8.2) можно кратко записать в виде

. (8.3)

Полученное дифференциальное уравнение (8.3) неустановившейся фильтрации газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Заметим, что оно справедливо для идеального газа при выполнении закона Дарси. Изменением пористости пренебрегают, потому что оно входит в уравнение неразрывности (2.2) в виде произведения (rm), в котором плотность газа изменяется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение Лейбензона (8.3) можно записать иначе, умножив правую и левую части на давление Р и заменив ;

получаем . (8.4)

Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (8.3) или в форме (8.4) должно быть проинтегрировано по всей газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Но поскольку уравнение (8.3) или (8.4) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, то оно неимеет точных аналитических решений даже в самых простых одномерных случаях. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны (например, метод ПССС).

Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния

и с учетом зависимости m = m (Р) в недеформируемой пористой среде (m₀ = const; k = const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

.

(8.5)

Это уравнение можно проинтегрировать численным методом на ЭВМ или решить приближенно при помощи электрических моделей.

1. Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8.4) линейным, т.е линеаризовать его, то оно упростится – для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что точные решения линейного уравнения будут приближенными решениями для нелинейного уравнения. Оценить погрешность такого приближенного решения уравнения (8.4) можно, сравнивая приближенное решение с решением этого уравнения (8.4) на ЭВМ.

Известны различные способы линеаризации основного дифференциального уравнения (8.4). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то как известно из теории стационарной фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая и по большей части пласта давление Р(r) мало отличается от контурного Р_К . На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление Р в коэффициенте (правая часть) уравнения (8.4) на постоянное давление Р_К (начальное давление в пласте),т.е.

.

Тогда вместо уравнения (8.4) получим уравнение

, (8.5)

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции Р².

И.А.Чарный предложил свести уравнение (8.4) к линейному заменой переменного давления Р в коэффициенте À на ,

где - максимальное и минимальное давление в газовой залежи за расчетный период эксплуатации.

Рассмотрим конкретно задачу о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенной в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т.е. при t = 0 давление во всем пласте постоянно и равно Р_К. Надо найти изменение давления в пласте с течением времени – Р(r,t), если отбор газа происходит с постоянным дебитом : Q_АТ = const.

Для решения этой задачи используем линеаризованное уравнение (8.5), которое для плоскорадиальной фильтрации запишется следующим образом:

. (8.6)

Уравнение (8.6) надо проинтегрировать

при начальном условии

при (8.7)

при граничном условии в отдаленных точках

при . (8.8)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого, исходя из закона Дарси, напишем выражение для массового дебита в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации.

.

Используя равенства и разделив на r_АТ , получим

. (8.9)

Из этого соотношения выразим условие на стенке скважины бесконечно малого радиуса

. (8.10)

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (8.6) должно быть проинтегрировано при условиях (8.7), (8.8) и (8.10).

Ранее была рассмотрена аналогичная задача об отборе упругой жидкости с постоянным дебитом Q из бесконечного первоначально невозмущенного пласта; эта задача была представлена уравнением (7.25) с условиями (7.26) и (7.27).

Нетрудно видеть аналогию рассматриваемой задачи с задачей неустановившейся фильтрации упругой жидкости: во все соотношения для идеального газа давление входит в квадрате; коэффициент пьезопроводности жидкости заменяется на для газа; коэффициент - на . В остальном все соотношения аналогичны. Поэтому и решение данной задачи можно записать сразу по аналогии с упругой жидкостью:

, (8.11)

или

. (8.12)

Для малых значений аргумента в соответствии с формулой (7.43) можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической:

, (8.13)

или

. (8.14)

Подчеркнем, что решения (8.11) – (8.14) являются приближенными, поскольку получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (8.6), а не точного (8.2). Формулы (8.12) и (8.14), определяющие распределение давления вокруг газовой скважины с момента t = 0 при Q = const, дают кривые, идентичные кривым при установившейся фильтрации - они очень круты вблизи скважины (рис.53).

По заданному r можно найти давление Р в любой момент времени t по формуле (8.12) или (8.14).

Рис. 53

В частности (на скважине).

.

Численное решение дифференциального уравнения (8.2) показывает, что погрешность в решении линеаризованного уравнения (8.5) составляет доли процента.

2. Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний

Отметим, что метод ПССС основан на следующих предпосылках:

1) в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине;

2) движение газа внутри возмущенной области стационарно;

3) размер возмущенной области определяется из уравнения материального баланса.

Рассмотрим решение задачи (методом ПССС) о притоке газа к скважине с постоянным дебитом Q_АТ ; радиус скважины r_C .

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом R (t) , внутри которой давление распределяется по стационарному закону (6.26)

, . (8.15)

Вне возмущенной области давление равно начальному (невозмущенное состояние):

Р = Р_К , r > R (t). (8.16)

Для возмущенной зоны можно записать выражение дебита по формуле (6.28) для стационарной фильтрации:

, (8.17)

Заметим, что в нашей задаче (при Q_АТ = const ) забойное давление Р_С = Р_С (t).

Для дальнейших выводов выделим из (8.17) отношение :

.

и подставим в формулу (8.15). Получим:

. (8.18)

Для нахождение R (t) составим уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при Р = Р_К) в зоне пласта радиусом R (t)

. (8.19)

Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление :

, (8.20)

где определяется по формуле (6.30) установившейся фильтрации

(8.21)

Так как отбор происходит с постоянным дебитом Q_АТ , то отобранная масса газа к моменту t равна . Следовательно

или с учетом (8.19) и (8.20), имеем

(8.22)

Подставляя в (8.22) выражения (8.21) для и (8.17) для Q_АТ, получим

откуда

или (8.23)

Для значений времени, для которых имеем

. (8.24)

Зная закон движения границы возмущенной области в виде (8.23) или (8.24), можно найти давление в любой точке возмущенной зоны пласта и на забое скважины по формуле (8.18)

(8.25)

;

(8.26)

Формула (8.25) и (8.26) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого или закрытого пластов радиусом . В последнем случае они годятся только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т.е. для .

Изменение давления во второй фазе зависит от типа газового пласта. Если он закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая границу.

Если он открытый (Р = Р_К при r = R_K), т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией

(Р_К - Р_С), где

. (8.27)