Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

у¢ + р(х) у = q(x), ( 1 )

где р(х) и q(x) – непрерывные функции (в частности – постоянные), называется линейным уравнением первого порядка.

Особенность данного типа уравнений: искомая функция у и ее первая производная у′ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Замечание 1. Уравнение вида a(х) у¢ + b(х) у = c(x) легко сводится к уравнению вида (1) делением на a(х).

Замечание 2. Уравнение вида х¢ + p(y) x = q(y) является линейным относительно х и х¢.

Если q(x) º 0,то уравнение (1) принимает вид

у¢ + р(х) у = 0, ( 2 )

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае q(x) ¹ 0уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

МЕТОД И.БЕРНУЛЛИ

Решение уравнения (1) ищется в виде y = uv, где u = u(x) и v = v(x) – неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из функций (например, v(x)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определится из уравнения (1). В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 11. Проинтегрировать уравнение у′ +2ху =2x.

Это линейное неоднородное уравнение. Решаем его методом Бернулли (говорят, методом « u на v»): решение ищем в виде y = uv, тогда y′ = u′v + uv′ и исходное уравнение преобразуется к виду u′v + uv′ +2хuv =2x. Запишем его в виде u′v + u(v′ +2хv)=2x.

1) Найдем функцию v, превращающую выражение в скобках в нуль. Для этого решим диф.уравнение v′ +2хv = 0.

Имеем = –2хv => = –2хdx => ln |v|= –х² (ввиду произвольности выбора v, С берем равным таким, каким нам удобно; в данном случае С = 0) => v = .

2) Т.к. при полученном v v′ +2хv = 0, то теперь решаем уравнение u′v =2x, т.е. u′ =2x. Имеем:

=2х => du =2х dx => u = + C.

3) Т.о., окончательно общее решение имеет вид y = uv =( + C) ∙ =1 + С .