Уравнения с разделяющимися переменными (УРП)

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия.

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то диф.уравнение называют обыкновенным, в противном случае – в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение у′′′ –3у′′ + 2у =0– обыкновенное диф.уравнение 3-го порядка,

уравнение х¹⁰⁰у′ + 5ху = у²⁵ – обыкновенное диф.уравнение 1-го порядка,

уравнение y ∙ z′_x = x ∙ z′_y – диф.уравнение в частных производных 1-го порядка.

Записи ДУ1: F (x, y, y¢) = 0– общий вид, ( 1 )

y¢ = f (x, y)– ДУ, разрешенное относительно производной,

dy = f (x, y) dxили P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 – дифференциальная форма.

Решением ДУ1 называется любая функция у = j (х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

График функции у = j (х) называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решений данного ДУ называется интегрированием этого уравнения.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга на постоянные величины. Например, очевидно, что решением уравнения

у′ =2х являются функции у = х², у = х²+ 5, у = х²– и, вообще, у = х²+ С, где С – const.

Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

Среди множества решений можно выбрать одно, задав т.н. начальное условие (НУ)

у(х₀) = у₀ или y|_{x = x0} = y₀.

Задача отыскания решения ДУ(1), удовлетворяющего заданному нач.условию у(х₀) = у₀, называется задачей Коши.Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через точку М(х₀, у₀).

Общим решением уравнения (1) называется такая функция у = j (х, С), ( 2 )

где С – произвольная постоянная (const), что:

1) при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;

2) для любого допустимого нач.условия у(х₀) = у₀ найдется такое значение С = С₀,

что j (х₀, С₀) = у₀.

В некоторых случаях общее решение ДУ записывают в неявном виде Ф (х, у, С) = 0. Тогда соотношение Ф (х, у, С) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.

Частным решением уравнения (1) называется функция у = j (х, С₀), получаемая из общего решения (2) при конкретном значении постоянной С = С₀.

Частным интегралом уравнения (1) называется равенство Ф (х, у, С₀) = 0, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С = С₀.

Геометрический смысл теоремы в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (х₀, у₀).

В каждой точке (х₀, у₀)ÎD число f (х₀, у₀) выражает угловой коэффициент касательной к кривой у = у(х). Поэтому каждой точке области D уравнение y¢ = f (x, y) ставит в соответствие некоторое направление – геометрически его можно изобразить черточкой (стрелкой), проходящей через эту точку. Тем самым уравнение y¢ = f (x, y), (х, у)ÎD, определяет поле направлений на плоскости.

Множество точек (х, у)ÎD, в которых y¢ = k, где k – const, или, что то же самое, f (x, y) = k (линии уровня функции f (x, y)), называется изоклиной диф.уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т.е. направления касательных в точках изоклины (или соответствующие черточки) параллельны.

Придавая k близкие числовые значения, можно построить достаточно густую сеть изоклин, а с их помощью – приближенно нарисовать вид интегральных кривых, т.е. решений ДУ. Этот метод, метод изоклин (графический, геометрический) особенно ценен в том случае, когда решение уравнения, общее или частное, не выражается в элементарных функциях – интеграл не берется.

Уравнение изоклины получается, если положить y¢ = с, т.е., f (x, y) = с.

Пример 1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения y¢ = 2х.

Уравнения изоклин этого ДУ будет 2х = с, т.е. изоклинами здесь будут прямые,

параллельные оси Оу ( х = ). В точках этих прямых проведем отрезки, образующие

с осью Ох один и тот же угол α, тангенс которого равен с. Так, при с = 0 имеем

х = 0, tg α = 0 => α = 0; при с = 1 имеем х = , tg α = 1 => α = 45º;

при с = –1: х = – , tg α = –1 => α = –45º; при с = 2 имеем х = 1, tg α = 2 =>

=> α = arctg2 ≈ 63º и т.д. Построив четыре изоклины и отметив на них ряд стрелочек, Рис.1.

наклоненных к оси Ох под вычисленным углом, по их направлениям строим линии.

В данном случае это будет семейство парабол (рис.1).

Некоторые ДУ могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми. Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения (теоремы Коши).

Уравнения с разделяющимися переменными (УРП)

Уравнение вида P₁(x) Q₁ (y) dx + P₂(x) Q₂ (y) dy = 0 (3)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными (УРП).

Разделив уравнение (3) на P₂(x) Q₁(y), получим уравнение с разделенными переменными

dx + dy = 0(4)

(коэффициент при dx зависит только от х, а при dу – только от у).

Общий интеграл уравнения (4) находится почленным интегрированием:

dx + dy = С.