Уравнения с разделяющимися переменными (УРП)


Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Основные понятия.

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то диф.уравнение называют обыкновенным, в противном случае – в частных производных.

 

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

 

Например, уравнение у′′′ –3у′′ + 2у =0– обыкновенное диф.уравнение 3-го порядка,

уравнение х100у′ + 5ху = у25 – обыкновенное диф.уравнение 1-го порядка,

уравнение y ∙ z′x = x ∙ z′y – диф.уравнение в частных производных 1-го порядка.

Записи ДУ1: F (x, y, y¢) = 0общий вид, ( 1 )

 

y¢ = f (x, y)ДУ, разрешенное относительно производной,

 

dy = f (x, y) dxили P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0дифференциальная форма.

 

Решением ДУ1 называется любая функция у = j (х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

График функции у = j (х) называется интегральной кривой.

 

Процесс нахождения решений данного ДУ называется интегрированием этого уравнения.

 

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга на постоянные величины. Например, очевидно, что решением уравнения

у′ =2х являются функции у = х2, у = х2+ 5, у = х2 и, вообще, у = х2+ С, где С – const.

 

Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

 

Среди множества решений можно выбрать одно, задав т.н. начальное условие (НУ)

 

у(х0) = у0 или y|x = x0 = y0.

 

Задача отыскания решения ДУ(1), удовлетворяющего заданному нач.условию у(х0) = у0, называется задачей Коши.Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через точку М(х0, у0).

 

Общим решением уравнения (1) называется такая функция у = j (х, С), ( 2 )

где С – произвольная постоянная (const), что:

1) при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;

2) для любого допустимого нач.условия у(х0) = у0 найдется такое значение С = С0,

что j (х0, С0) = у0.

 

В некоторых случаях общее решение ДУ записывают в неявном виде Ф (х, у, С) = 0. Тогда соотношение Ф (х, у, С) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.

 

Частным решением уравнения (1) называется функция у = j (х, С0), получаемая из общего решения (2) при конкретном значении постоянной С = С0.

 

Частным интегралом уравнения (1) называется равенство Ф (х, у, С0) = 0, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С = С0.

 

Теорема1 (Коши) – существования и единственности решения. Пусть в ДУ1 y¢ = f (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная f ′¢у (x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху. Тогда для любой точки М(х0, у0) Î D существует и притом единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.

 

Геометрический смысл теоремы в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (х0, у0).

В каждой точке (х0, у0D число f (х0, у0) выражает угловой коэффициент касательной к кривой у = у(х). Поэтому каждой точке области D уравнение y¢ = f (x, y) ставит в соответствие некоторое направление – геометрически его можно изобразить черточкой (стрелкой), проходящей через эту точку. Тем самым уравнение y¢ = f (x, y), (х, уD, определяет поле направлений на плоскости.

Множество точек (х, уD, в которых y¢ = k, где kconst, или, что то же самое, f (x, y) = k (линии уровня функции f (x, y)), называется изоклиной диф.уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т.е. направления касательных в точках изоклины (или соответствующие черточки) параллельны.

Придавая k близкие числовые значения, можно построить достаточно густую сеть изоклин, а с их помощью – приближенно нарисовать вид интегральных кривых, т.е. решений ДУ. Этот метод, метод изоклин (графический, геометрический) особенно ценен в том случае, когда решение уравнения, общее или частное, не выражается в элементарных функциях – интеграл не берется.

Уравнение изоклины получается, если положить y¢ = с, т.е., f (x, y) = с.

Пример 1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения y¢ = 2х.

 

Уравнения изоклин этого ДУ будет 2х = с, т.е. изоклинами здесь будут прямые,

параллельные оси Оу ( х = ). В точках этих прямых проведем отрезки, образующие

с осью Ох один и тот же угол α, тангенс которого равен с. Так, при с = 0 имеем

х = 0, tg α = 0 => α = 0; при с = 1 имеем х = , tg α = 1 => α = 45º;

при с = –1: х = – , tg α = –1 => α = –45º; при с = 2 имеем х = 1, tg α = 2 =>

=> α = arctg2 ≈ 63º и т.д. Построив четыре изоклины и отметив на них ряд стрелочек, Рис.1.

наклоненных к оси Ох под вычисленным углом, по их направлениям строим линии.

В данном случае это будет семейство парабол (рис.1).

Некоторые ДУ могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми. Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения (теоремы Коши).

 

Уравнения с разделяющимися переменными (УРП)

 

Уравнение вида P1(x) Q1 (y) dx + P2(x) Q2 (y) dy = 0 (3)

 

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными (УРП).

 

Разделив уравнение (3) на P2(x) Q1(y), получим уравнение с разделенными переменными

 

dx + dy = 0(4)

(коэффициент при dx зависит только от х, а при – только от у).

 

Общий интеграл уравнения (4) находится почленным интегрированием:

dx + dy = С.

 

Пример 2. Найти общий интеграл диф.уравнения xdxydy = 0.

 

Имеем: = с1 или = с2. Обозначим с = 2с2 => x2y2 = c.

 

Замечание 1.Уравнению (3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на

Q1(y) P2(x), т.е. получаемые из уравнения Q1(y) P2(x) = 0. Если эти решения не

входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями ДУ (3).

 

 


Замечание 2.Уравнение y¢ = f1(x) f2(у) сводится к уравнению (4), если положить

y¢ = dy/dx и разделить переменные.

 

Замечание 3.Уравнение y¢ = f (ax + by + c), где a, b, c – числа, путем замены

ax + by + c = u, сводится к диф.уравнению с разделяющимися переменными.

Дифференцируя замену по х, получаем = a + b = a + b ∙ f (u) => = dx.

Интегрируя это уравнение и заменяя u на ax + by + c,получим общий интеграл

исходного уравнения.

 

Пример 3. Решить уравнение (1 + у2) x dx = (1 + x2) y dy.

 

Деля обе части уравнения на (1 + у2) (1 + x2) ≠ 0, приведем его к виду = . Интегрируя обе

части полученного равенства, найдем ln (1 + x2)= ln (1 + y2) + ln C, откуда = С.

 

Пример 4. Решить уравнение (y + xу) dx + (x – xy) dy = 0.

 

Деля обе части уравнения на xy ≠ 0, приведем его к виду = . Интегрируя обе

части полученного равенства, найдем x + ln | x |= y – ln | y | + C или x + ln | x |– y + ln | y | = Cобщий

интеграл уравнения. При делении на ху потеряны решения х = 0 и у = 0, которые также являются

решениями исходного уравнения, но не входят в общий интеграл ни при каком С. Это – особые решения

данного уравнения.

 

Пример 5. Решить уравнение у dx = х dy.

 

Разделяя переменные, получим = , а после интегрирования ln |y|= ln |x| + ln |C|, откуда у = Сх

(здесь С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но С ≠ 0 ).

При делении на у потеряно решение у ≡ 0, которое может быть включено в общее решение, если

разрешить принимать значение С = 0.

Если считать переменные х и у равноправными, то уравнение = , теряющее смысл при х = 0, надо

дополнить уравнением = , которое имеет очевидное решение х = 0.

 

Пример 6. Проинтегрировать уравнение = (х + y)2.

 

Положим z = x + y, тогда = 1 + , или = 1 + z2 , откуда = dx. Интегрируя, получим

получим arctg z = x + C или z = tg(x + C). Подставляя вместо z величину x + y, получаем общее решение

данного уравнения.

 

Пример 7. Решить уравнение у′= – , удовлетворяющее условию у(4) = 1.

Имеем: =– или =– . Проинтегрировав, получим : ln |y|= ln |С| – ln |х|, откуда |у| = или

у = общее решение ДУ. Подставим в него начальные условия: х = 4, у = 1 и получим: 1 = , С = 4.

Т.о., у = – частное решение уравнения у′= – . Геометрически это частное решение представляет собой

интегральную кривую (в данном случае гиперболу), проходящую через точку (4; 1).




Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 2278;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.