Скалярное умножение свободных векторов

О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними: .

О п р е д е л е н и е. Векторы, скалярное произведение которых равно нулю называются ортогональными.

Для обозначения ортогональности векторов используют знак .

Очевидны свойства скалярного умножения свободных векторов:

1. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);

2. ;

3. .

У п р а ж н е н и е. Используя свойства скалярного умножения и свойства скалярных проекций доказать законы скалярного умножения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Базис , состоящий из единичных, попарно ортогональных векторов, называется ортонормированным базисом.

У п р а ж н е н и е. Используя законы скалярного умножения, вывести формулы вычисления скалярного произведения векторов и длины вектора через координаты в ортонормированном базисе:

; .

Основные приложения скалярного умножения векторов:

1. – длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора;

2. ;

3. Угол между векторами и острый тогда и только тогда, когда ,тупой тогда и только тогда, когда . Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

4. .