Векторное произведение двух векторов.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор

(обозначаемый иначе ), удовлетворяющий следующим условиям:

1. , где j-угол между векторами ;

2. ^ и ^

3. вектор относительно векторов и направлен так же, как координатная ось OZ относительно координатных осей OX и OY, т.е. векторы образуют правую тройку векторов (это значит, что если векторы приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, чтобы из его конца наблюдался кратчайший поворот первого вектора ко второму, причем этот поворот осуществлялся бы против хода часовой стрелки:

Основные свойства векторного умножения:

1. Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, т.е.

.

2. , если коллинеарны .

3. (сочетательный закон).

4. (распределительный закон).

5.

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах

Если векторы заданы своими координатами

то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой:

или, (10)

если разложить определитель по элементам первой строки:

(10^/)

(11)

Пример 8. Упростить:

Решение.

Пример 9. Вычислить если известно, что и векторы и векторы образуют угол j=p/3.

Решение.

Пример 10. Векторы образуют угол j=p/6.

Зная, что вычислить: .

Решение.

Пример 11. Даны векторы

Найти координаты вектора

Решение. Найдем координаты векторов-сомножителей:

Таким образом вектор имеет следующие координаты: