Волновая функция свободных электронов в металле

Согласно классическим представлениям валентные электроны атома могут почти свободно перемещаться в пределах образца металла, они обуславливают электропроводимость металла, почему их называют электронами проводимости.

Напомним что классическая электронная теория электропроводности металлов Друде - Лоренца, рассматривая электронный газ в металле как идеальный, успешно объяснила законы Ома, Джоуля – Ленца и Видемана-Франца. Для удельной электропроводности металла в рамках этой теории получается выражение:

, (38.01)

где - концентрация электронов проводимости;

- элементарный заряд;

- средняя длина свободного пробега электронов;

- скорость теплового движения электронов.

Одно из основных затруднений классической электронной теории металлов связано температурной зависимостью , которая теоретически определяется зависимостью тепловой скорости электронов от температуры. Теория предсказывает зависимость ~ , в то время как экспериментально наблюдается зависимость ~ .

Второе затруднение заключается в том, что идеальный газ свободных элек­тронов теоретически должен увеличивать молярную теплоемкость металлов на , чего экспериментально не наблюдается.

Эти затруднения удалось преодолеть квантовой теории свободных электронов, которая рассматривает электронный газ с учетом квантовых свойств электронов и особенностей поведения квантовых систем.

Предположим для простоты и определенности, что образец металла имеет формулу куба со стороной . Допустим, что потенциальная энергия электронов всюду в пределах рассматриваемого образца постоянна и положим её равной нулю: .

Тогда уравнение Шредингера для электрона проводимости в металле можно записать в виде:

, (38.02)

Решение уравнения (38.02) имеет вид:

, (38.03)

где - волновой вектор электрона;

с - константа.

(38.03) есть уравнение плоской волны. Поэтому можно говорить, что электроны в кристалле описываются плоскими волнами. Плоская волна имеет одинаковую во всем объеме кристалла амплитуду. Поскольку квадрат ее модуля дает вероятность обнаружения электрона в данной точке, можно утверждать, что в рамках рассматриваемой модели вероятность обнаружить электрон в любой точке кристалла одинакова.

Электрон с импульсом и волновым вектором характеризуется кинетической энергией

. (38.04)

Условие нормировки - функции в данном случае можно записать так:

. (38.05)

Тогда находим значение константы и окончательный вид волновой функции:

и (38.06)