Векторное произведение двух векторов.

Векторным произведением двух векторов и с углом между ними называется вектор , который определяется следующим образом:

1. (2.18)

2. Вектор перпендикулярен плоскости, которая проходит через векторы и , и направлен так, что с его конца кратчайший поворот от к виден против хода часовой стрелки (рис. 2.8).

Из определения векторного произведения следует, что если в нем менять местами векторы, то направление векторного произведения изменится на противоположное, то есть (рис. 2.8). Как видно из (2.18), модуль векторного произведения и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах (геометрический смысл векторного произведения двух векторов). Заметим, что параллельные векторы называются коллинеарными (рис. 2.9).

Теорема 2.2.Равенство нулю векторного произведения двух не нулевых векторов и является необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и

Доказательство:

Необходимость. Дано, что векторы и коллинеарны. Доказать, что

Из условия теоремы следует, что угол между векторами и или . Но и Тогда согласно (2.18)

Достаточность. Дано, что Доказать, что векторы и коллинеарны.

Из условия теоремы имеем Но так как , то Тогда или А это означает, что векторы и коллинеарны.

Пусть векторы и даны своими координатами: то есть

(2.19)

Вычислим векторное произведение и с учетом (2.19). Имеем

(2.20)

Учитывая, что

(2.21)

из (2.20) получим

(2.22)

(2.22) представляет выражение векторного произведения двух векторов и в координатах.

Если векторы и коллиенарны, то , то есть

(2.23)

Условие (2.23) означает, что если векторы и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.

Пример 2.9. Даны координаты вершин треугольника в трехмерной прямоугольной системе координат: Определить площадь этого треугольника (рис. 2.10).

Решение.Заметим, что векторы и имеют координаты:

По определению модуля векторного произведения двух векторов имеем

Ответ: 14.