Смешанное умножение свободных векторов

О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением свободных векторов называется число, равное скалярному произведению вектора и векторного произведения .

Следующие две теоремы раскрывают геометрический смысл смешанного произведения трех свободных векторов.

Т е о р е м а 1 (условие компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Т е о р е м а 2 (о геометрическом смысле смешанного произведения трех некомпланарных векторов). Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка векторов левая.

У п р а ж н е н и е. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

1. Как, используя векторное и смешанное произведение векторов, можно найти объем, высоту параллелепипеда, тетраэдра?

У п р а ж н е н и е. Опираясь на определение и геометрический смысл смешанного произведения трех векторов, а так же на законы скалярного умножения, докажите законы смешанного умножения векторов:

1. (при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется);

2. (при перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак);

3. (числовой множитель можно выносить за знак смешанного умножения);

4. (распределительный закон).

Для доказательства законов векторного умножения воспользуемся законами смешанного умножения и следующей леммой.

Л е м м а. Если для любого вектора скалярное произведение равно нулю, то вектор – нулевой вектор.

Чтобы убедиться в справедливости леммы, достаточно в качестве взять вектор .

Докажем закон антикоммутативности векторного умножения. Для любого вектора имеем или . Используя законы скалярного умножения, получим . Тогда по лемме следует, что . Имеем .

Остальные законы векторного умножения доказываются аналогично.

У п р а ж н е н и е. Укажите, какие свойства и законы скалярного, векторного и смешанного умножений используются на каждом этапе вывода формул вычисления векторного и смешанного произведений через координаты в ортонормированном базисе :

, .

Раздел II. Аналитическая планиметрия