Вопрос 5. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить за барьер приводит к так называемому туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией Е налетает на некоторый потенциальный барьер , то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю при E < U.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 21.3) высоты U и ширины l для одномерного (по оси OX) движения частицы.

Рис. 21.3 Рис. 21.4

Для такого барьера

U(x) = 0, (x < 0; обл. 1);

U(x) = U, (0 < x < l; обл. 2);

U(x) = 0, (x > l;обл. 3).

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него при E < U и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.

Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону и также имеется отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Решением уравнения Шредингера для каждой из выделенных областей являются волновые функции , показанные на рис. 21.3 (нижняя часть рисунка). Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а вобласти3, если барьер не очень широк, опять имеет вид волнде Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. При этом для - функции должны выполняться следующие требования:

1). Условие непрерывности - функции во всей области изменения х от - ∞ до +∞: и = ;

2). Условие гладкости -функции, т.е. не имеющей изломов во всей области изменения х: производные и = .

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту, в результатекоторого микрообъект может пройти через барьер.

Коэффициент прозрачности, т.е. вероятность прохождения частицы сквозь барьер прямоугольной формы, определяется выражением

, (21.19а)

где m –масса частицы; E – ее энергия; l – ширина барьера; U – его высота.

. Из выражения (21.19а) следует, что D сильно зависит от массы m

Ч частицы, шири­ны l барьера и от (U-E); чем шире барь­ер, тем меньше

вероятность прохождения частицы сквозь него.

Коэффициент прозрачности барьера произвольной формы (рис.21.4) имеет вид:

. (21.19б)

Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезкеΔx = l составляет Δp > .Связанная с этим разбросом кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти сквозь барьер.

Туннельный эффект – специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников, холодная эмиссия электронов из металла), атомной и ядерной физики (например, α - распад, протекание термоядерных реакций) и др. На использовании явления туннельного эффекта создан сканирующий туннельный микроскоп, позволяющий определять профили поверхности тончайших пленок. Разрешающая способность микроскопа по осям x, y достигает 10^{-10 м, а по оси} z − порядка 10^{-12 м.}