Вопрос 6. Уравнение Шредингера для атома водорода. Векторная модель атома.

Рассмотрим теперь квантово-механическую теорию атомов. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории Бора. Например, электроны могут находиться в атоме только в дискретных состояниях с определенной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается или поглощается фотон. Но квантоваямеханика – не просто обобщение теории Бора. Она представляет собой гораздо более глубокую теорию и рисует совершенно иную картину строения атома. Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит электронов, как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве, подобно «облаку» отрицательного заряда.

Размытое в пространстве облако является результатом волновой природы электронов. Электронное облако можно также интерпретировать как распределение вероятностей для данной частицы. Мы не можем предсказать траектории, по которой будет двигаться электрон. После измерения его первоначального положения невозможно точно предсказать, где будет находиться электрон в последующие моменты времени. Мы можем лишь вычислить вероятность обнаружения электрона в различных точках. Ясно, что подобная ситуация в корне отличается от классической ньютоновской физики.

Применим уравнение Шредингера к электрону, находящемуся в атоме водорода.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для водорода,

а также водородоподобных систем сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1), определяется выражением

(21.20)

и зависит только от r – расстояния между электроном и протоном, поэтому задачу с таким видом потенциальной энергии обычно решают в сферической системе координат. В общем случае волновая функция является функцией от всех координат и уравнение Шредингера будет иметь вид:

. (21.21)

Электрон в атоме находится в потенциальной яме, края которой имеют форму гиперболы (рис.21.5).

Очевидно, что решение этой задачи должно быть подобно решению задачи, когда частица находилась в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме с прямоугольными краями.

Рис.21.5.

Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этого уравнения воспользуемся сферической системой координат (r, θ, φ), которые связаны с декартовыми координатами, как это следует из рис. 21.6, соотношениями: x = r sin θ cos φ; y = r sin θ sin φ; z = r cosθ .

Рис. 21.6

Подставив в (21.21) выражение оператора Лапласа в сферических

координатах, получим уравнение Шредингера в следующем виде:

. (21.22)

Строгое решение уравнения (21.22) в соответствии с теорией дифференциаль­ных уравнений дает следующие результаты. Электрон в атоме обладает не произвольным значением энергии, а набором определенных отрицательных дискретных значений E_n:

, (21.23)

где n – главное квантовое число, принимающее значения 1,2,3.…,∞. Из (21.23) следует, что именно главное квантовое число определяет энергию электрона в атоме: E_n ~ . Выражение для значений энергий En (21.23) полностью совпадает с результатами теории Бора (19.15). Для атома водорода значение n = 1 соответствует основному состоянию электрона, значение n = ∞ – свободному электрону (E∞ = 0). Отрицательные значения энергии соответствуют связанному состоянию электрона, когда он находится внутри потенциальной ямы и имеет большие отрицательные значения потенциальной энергии (21.20). Положительными значениями энергии электрон обладает в свободном состоянии, когда он покидает пределы атома, и его энергетический спектр становится непрерывным, т.е. область E > 0 соответствует ионизированному атому.

Итак, если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

Из решения уравнения (21.22) определяются не только значения энергии, но и волновые функции. Причем оказывается, что одному и тому же значению энергии электрона соответствует несколько различных состояний с разными волновыми функциями, соответствующими различным типам движения электрона. Эти типы движения различаются разными значениями орбитального момента импульса и его проекцией на физически выделенное направление Z, совпадающее с направлением вектора напряженности внешнего магнитного поля.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера

удовлетворяют собственные функции Ψ_nlms, определяемые набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального l, магнитногоm и спинового m_s.

Момент импульса частицы относительно начала координат О (центр орбиты электрона на рис. 21.7) в классической механике определяется векторным произведением , где вектора и являются соответственно радиус-вектором частицы и ее импульсом.

Из представлений классической физики следует, что орбитальный момент импульса электрона и пропорциональный ему магнитный момент ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты электрона и направлены противоположно. Модуль магнитного момента тока, создаваемого движущимся по орбите электроном, равен

. (21.26)

Здесь T – период обращения электрона по орбите, V– его скорость, I − орбитальный ток, S − площадь орбиты.

Магнитный момент обусловлен движением электрона по орбите,

Рис. 21.7

. (21.24)

вследствие чего называется орбитальным магнитным моментом электрона.

Электрон обладает массой m_e, поэтому при движении по орбите он обладает моментом импульса , модуль которого

. (21.25)

Вектор называюторбитальным механическим моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему. Следовательно, направление векторов и противоположны (рис. 21.7).

Отношение магнитного момента элементарной частицы к ее механическому моменту называется орбитальным гиромагнитным отношением. Для электрона оно равно

. (21.26)

Такая связь между векторами сохраняется и в теории Бора. Поскольку направления векторов и противоположны, выражение, связываюшее магнитный момент и момент импульса движущегося электрона, имеет вид:

. (21.27)

Классическое определение момента импульса в квантовой механике не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором бы оба вектора и имели определенные значения. В квантовой механике доказывается, что вектор момента импульса не может быть полностью определен как по величине, так и по направлению. Исключением является только случай, когда и все три проекции одновременно равны нулю:

В квантовой механике модуль момента импульса движущейся микрочастицы определяется выражением:

(21.28)

. Здесь – орбитальное квантовое число. Величина является дискретной (квантовой).

В квантовой механике строго доказывается (это следует из решения уравнения Шредингера), что проекция (L_Z) вектора на направление вектора напряженности внешнего магнитного поля , совмещенного с осью Z, может принимать лишь целочисленные значения, кратные постоянной :

L_z = mħ. (21.29)

Равенство (21.29) означает, что проекция момента импульса на любое направление квантуется. Проекция любого вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. . Поэтому в соответствии с выражениями (21.28) и (21.29) имеем:

. (21.30)

Следовательно, максимальное значение равно , тогда . При заданном число т принимает значений: , которые образуют спектр проекций на любую выделенную ось , т.е. вектор может принимать (2l + 1) ориентаций в пространстве (рис. 21.8).

Таким образом, квантовое число определяет как модуль момента импульса, так и все возможные значения его проекции на ось . На рис. 6.8 показаны возможные ориентации вектора и его проекции на выделенное направление магнитного поля. Например, когда орбитальное квантовое число (средний рисунок 6.8), то ; 0; .

Приведенные результаты, определяющие возможные значения и , т.е. дискретность в ориентации вектора , называют пространственным квантованием.

Пространственное квантование на рис. 21.8 представлено лишь схематически (графически): по оси откладывают возможные значения mћ, рассматривая их как проекции на ось вектора длины . Конечно, это схематическое изображение приведено для наглядности. Ведь орбитальный механический момент электрона принципиально не имеет определенных направлений в пространстве.

На рис. 21.8 показаны возможные ориентации вектора в состояниях s, p, d.

Рис.21.8

Различные состояния электрона в атоме обозначают малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального квантового числа l, табл. 1. Электрон в этих состояниях называется соответственно s-, p-, d-электроном и т. д. Значение главного квантового числа n указывают перед символом состояния с данным l: электрон в квантовом состоянии с n=1 и l=0 обозначают символом 1s, при n=2 и l=0 − 2s, при n=2 и l=1 − 2p и т. д.

Таблица 1.

Обозначение состояний электрона в атоме

Согласно выражениям (21.27), (21.28), (21.29) дискретный спектр разрешенных значений величины модуля орбитального магнитного момента P_m и его проекции на выделенное направление Z для движущегося электрона определяются как

и (21. 31)

. (21. 32)

Ориентация вектора в пространстве изображается аналогично вектору , приведенному на рис. 21.8.

Спин электрона.В 1922 году немецкие физики О. Штерн и В. Герлах измерили магнитные моменты Pm атомов различных химических элементов. Для химических элементов первой группы таблицы Менделеева магнитный момент атома равен магнитному моменту валентного электрона, т.е. одного электрона.

Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на атом в сильно неоднородном магнитном поле. Неоднородность магнитного поля должна быть такова, чтобы она сказывалась на расстояниях порядка размера атома. Только при этом можно было получить силу, действующую на каждый атом в отдельности.

Схема опыта изображена на рис. 21.9. В колбу с вакуумом 10^{-5 мм рт. ст.} помещался серебряный шарик К и нагревался до температуры испарения. Затем атомы серебра, вылетающие из колбы со скоростью около 100 м/с, пропускались через щелевые диафрагмы В и после прохождения через резко неоднородное магнитное поле попадали на фотопластинку А.

Если бы момент импульса атома и его магнитный момент могли принимать произвольные ориентации в пространстве (т.е. в магнитном поле), то было бы непрерывное распределение атомов серебра на фотопластинке с большой плотностью попаданий в середине. Но на опыте были получены совершенно неожиданные результаты: на фотопластинке получились две резкие полосы – все атомы отклонялись в магнитном поле двояким образом, соответствующим лишь двумвозможным ориентациям магнитного момента.

Рис. 21.9

Этим доказывался квантовый характер магнитных моментов электронов.