Топологические матрицы графов

Для математического описания способа соединения ветвей цепи используются матрицы соединений, контуров и сечений – прямоугольные матрицы, столбцы которых отвечают ветвям цепи, а строки – узлам, контурам и сечениям соответственно. Следовательно, различают узловые матрицы, матрицы сечений и матрицы контуров.

Рассмотрим граф и составим для него мат­рицу [А], показывающую, к какому узлу направленного графа присоединены соответствующие ветви. Число строк в такой матрице равно количеству ветвей дерева графа, т.е. числу узлов без единицы. (Если ветвь направлена к узлу, то −1, если из узла +1, если не подходит к узлу, то 0).

A называется матрицей соединений или узловой матрицей.

Размер матрицы .

Система уравнений первого закона Кирхгофа при этом может быть записана в матричной форме:

.(I – вектор-столбец токов в ветвях).

Матрица сечений Q дает информацию о принадлежности ветвей цепи к определенным сечениям. Если эта матрица составляется для главных сечений, то ее называют матрицей главных сечений. Размер матрицы .

Если ветвь содержится в сечении и направлена согласно с направлением главного сечения, то соответствующий элемент матрицы имеет значение +1, если направлен иначе, то −1, если ветвь не входит в сечение, то 0.

Рассмотрим пример графа. Выделим одно из деревьев графа. Предположим, что оно образовано ветвями 1-2-3. Для данного дерева можно построить 3 главных сечения: . Составим матрицу, в которой столбцами являются ветви, а строками - сечения, т.е.

.

Матрицу главных сечений можно использовать для записи первого закона Кирхгофа: .

Матрица контуров В содержит информацию о том, в какие контуры цепи входят ветви. Первоочередной интерес представляют матрицы главных контуров. Напомню, что главными контурами называют контуры, в каждый из которых вхо­дит только по одной ветви связи. Направление контура определяется по направлению ветви связи, входящей в него.

В результате строки В-матрицы соответствуют главным контурам цепи, а столбцы – ветвям. Размер матрицы контуров .

Для анализируемого дерева графа – 3 главных контура: - образованный ветвями 1-2-3-4; - образованный ветвями 1-2-5; - образованный ветвями 2-3-6.

В результате матрица принимает вид:

.

Второй закон Кирхгофа в матричной форме может быть записан как: , где U – вектор-столбец, составленный из напряжений ветвей.

Между топологическими матрицами существует связь:

и .