Электротепловая аналогия

Явления теплопроводности и электропроводности описываются следующими уравнениями:

,

где dQ и dI – элементарные потоки теплоты и электричества, прошедшие в единицу времени через площадки dF_т, dF_э в направлении нормалей n_т и n_э; U и Т – электрический потенциал и температура; l и s - коэффициенты теплопроводности и электропроводности.

В случае двумерных стационарных задач тепло- и электропроводности и независимых от температуры параметрах l и s соответствующие дифференциальное уравнения имеют вид:

;

.

Эти уравнения имеют одинаковую структуру. Аналогичные явления должны протекать в геометрически подобных системах. Граничные условия также описываются аналогичными соотношениями.

- l gradT = aDT Þ

Þ - grad T = DT/(l/a) = DT/l_т – для тепловой задачи

- grad U = DU/l_э – для электрической задачи.

Записав уравнения и граничные условия в безразмерной форме, получим тождественные уравнения.

Вывод: таким образом, видим, что распределение температуры и электрического потенциала являются подобными, то есть имеет место аналогия.

При исследовании нестационарных процессов для одномерных областей исходные дифференциальное уравнения тепло- и электропроводности имеют вид

¶Т/¶t = а∙ ¶Т²/¶х_т²; (1)

¶U/¶t = (1/R_эC_э )∙¶²U/¶x_э², (2)

Скорость протекания процессов зависит от а и 1/R_эC_э,

где R_э - электрическое сопротивление на единицу длины;

C_э - электрическая емкость на единицу длины.

Эти коэффициенты, как и коэффициент температуропроводности, не должны зависеть от температуры.

Из уравнений (1) и (2) следует, что аналогия устанавливается, если выполняется условие:

Изменение теплового потока пропорционально изменению теплоемкости системы и изменению температуры:

dQ = c_т(¶T/¶t_т) dt_т.

Изменение электрическое тока пропорционально емкости и изменению напряжения

dI = c_э (¶U/¶t_э ) dt_э.

Следовательно, в модели теплоемкости могут быть воспроизведены соответствующими электрическими емкостями. Таким образом, можно моделировать процессы теплопроводности на электрических моделях.

При разработке электрических моделей, имитирующих процессы теплопроводности, применяются два способа:

1) электрические модели повторяют геометрию оригинальной тепловой системы и изготовляются из материала с непрерывной проводимостью (электропроводящее тело или жидкий электролит) – модели с непрерывными параметрами процесса;