Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравненияследует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости, для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Для многих задач можно предположить, что жидкость несжимаема, то есть справедливо соотношение для термодинамически идеального газа:

di = c_pdT и i = c_pdT -

^Т

уравнение, которое позволяет установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить q, необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии

Это уравнение описывает температурное поле в движущейся жидкости. При его выводе предполагали, что жидкость однородна и изотропна, её физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии. В итоге получили:

¶Т/¶t + w_х¶Т/¶х + w_у¶Т/¶у + w_z¶Т/¶z = а (¶²Т/¶х² + ¶²Т/¶у² + ¶²Т/¶z²) + q_v/rс_р - уравнение энергии

dT/dt - полная производная от температуры по времени (левая часть уравнения);

- характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, то есть является локальным изменением температуры Т; второй член – характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, то есть является конвективным изменением температуры Т.

Уравнение энергии можно переписать в форме

dT/dt = а Ñ²Т + q_v/(rс_р)(2)

Если w_х = w_у = w_z = 0, то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Уравнения движения

Как следует из уравнения (2), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости w_х, w_у, w_z. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменения скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями является уравнения движения. Вывод уравнения движения основана на 2-м законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

На элемент жидкости действуют 3 силы: 1) сила тяжести, 2) равнодействующая сил давления и 3) равнодействующая сил трения. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, которые называется уравнениями Навье – Стокса. В векторной форме записи они имеют

набла

r(dv /dt) = r g - Ñp + mѲv,

масса х сила давление сила

ускорение тяжести трения

где m - динамический коэффициент вязкости (Н∙с/ м²) – численно равен касательной силе, которая действует в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, если изменение скорости в направлении нормали к этой плоскости dv/dn = 1.

Это уравнение не учитывает зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движения жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости

С учетом зависимости плотности жидкости от температуры уравнения движущейся жидкости примет вид

dv/dt = - gbu- (1/r)Ñр + nѲv,

подъемная сила

где b = (r₀ - r)/(r_0∙u) – коэффициент объемного расширения

(r = r₀(1 - b∙u))

u = T – T₀;

n = m/r - кинематический коэффициент вязкости, м²/с.

Так как в уравнении движения помимо w_х, w_у, w_z, u входит ещё неизвестная величина р (давление), то система уравнений не является замкнутой.

Необходимо добавить ещё одно уравнение – дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).