Метод конечных разностей

Аналитические решения, полученные путем непосредственно интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численных методов вычисляется температура в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, то при помощи численных методов всегда возможно, по крайней мере, приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Из численных методов широко используется метод конечных разностей (метод сеток).

Аппроксимируемость схемы означает, что при стремлении к нулю шагов аргументов решение системы алгебраических уравнений стремиться к решению исходного дифференциальное уравнения при заданных краевых условиях.

Устойчивой называют такую схему, для которой ошибки округления, неизбежные при всяком счете, при уменьшении шагов аргументов (сгущение сетки) не приводят к большим искажениям решения. В противном случае схема называется неустойчивой.

Сходимость схемы означает, что при сгущение сетки решение системы алгебраических уравнений приближается (сходиться) к решению дифференциальное уравнения при заданных краевых условиях. Сходимость – следствие одновременных аппроксимируемости и устойчивости.

Рассмотрим метод конечных разностей (МКР) для решения уравнения двумерной стационарной теплопроводности в изотропном материале без источников теплоты. Уравнение имеет вид:

(1)

Рис. 19 Сетка узловых точек

На теплопроводящую пластинку нанесена сетка. Температуры в точке 0 и узлах сетки 1, 2, 3, 4 обозначим соответственно Т₀, Т₁, Т₂, Т₃, Т₄.

Градиент температур в направлении оси х для точки 0¹ можно записать в виде:

,

где члены высшего порядка малости не учитываются. Точность такого равенства возрастает с уменьшением Dх.

Аналогично для точки 0²:

,

Теперь можно определить вторую производную в направлении оси х для точки 0:

.

Таким же образом можно определить 2-ую производную в направлении оси у для точки 0:

.

Подставляя полученные выражения в уравнения (1) и при условии Dх = Dу = D, получим разностную схему:

или

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ - 4Т₀ = 0, (2)

.

Аналогичные уравнения можно записать для каждого узла (!).

Из уравнения (2) следует, что температура в любом узле плоской стенки есть среднее арифметическое температур в соседних четырех узлах сетки. Это условие положено в основу одного из методов численного решения задач теплопроводности, который называется релаксационным.

Этот метод состоит в следующем. В узлах сетки записываются ожидаемые, но произвольно выбранные температуры. В общем случае они не будут удовлетворять условию (2). Если Т₀ окажется больше среднего арифметического температур Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, то это значит, что в точке 0 находится источник теплоты, если меньше, то сток теплоты. В этих случаях разностная схема примет вид:

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ - 4Т₀ = R₀, (3а)

где - остаток для точки 0, (3)

где q_v – объемная плотность теплового потока в точке 0.

Для всех узлов сетки найдем остаток по уравнения (3). Там, где остаток окажется наибольшим по абсолютной величине, значения температуры выбраны наименее удачно. То есть они больше, чем во всех узлах отличаются от действительных.

Пусть в точке 0 величина R наибольшая. Тогда наибольший остаток делят на 4 и добавляют ¼ R₀ к остаткам соседних четырех точек, а температуру узла, где находился наибольший остаток, увеличивают на ¼ первоначального остатка. Из уравнения (3а) видно, что теперь остаток в узле 0 станет равным нулю:

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ – 4Т^¢₀ = 0,

где Т^¢₀ = Т₀ + ¼ R₀.

Остатки в точках 1, 2, 3, 4 увеличиваются на ¼ R₀, например, в точке 1:

R^¢₁ = R₁ + ¼ R₀.

Далее все операции нужно повторить для следующего узла с небольшим остатком. Этот процесс следует продолжать до тех пор, пока все остатки внутренних узлов сетки обратятся в нуль или будут пренебрежимо малыми. Результирующие температуры в узлах сетки составят искомое решение. То есть время, затрачиваемое на решение задачи, будет тем меньше, чем удачнее выбраны ожидаемые температуры в узлах сетки.

Выбор этих температур проводят следующим образом. Вначале наносят сетку с крупными ячейками и малым числом узлов. После решения задачи для крупной сетки уменьшают размеры ячеек, а найденные в предыдущем расчете температуры используются для нахождения температуры в узлах второй более мелкой сетки. Продолжая этот процесс, можно достаточно точно и быстро определить температуры в узлах сетки.

Условие (2) можно распространить на случай 3-х мерного температурного поля, для которого оно имеет вид:

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ + Т₅ + Т₆ – 6Т₀ = 0

Метод релаксации обычно используется для предварительной оценки температурного поля. Этот метод применяется для решения системы разностных уравнений вручную, а на ЭВМ он трудно осуществим, так как на них быстрее и дешевле работать с уравнениями в циклическом порядке. Чем искать наибольшие остатки. Поэтому для решения больших температурных полей целесообразно использовать итерационные методы решения системы разностных уравнений, например метод Зейделя.

Следует отметить, что не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля.

Для конкретной задачи метод может оказаться неустойчивым, то есть при измельчение сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного.