Охлаждение цилиндра конечной длины

Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, то есть представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям. Например, для безграничной пластины при охлаждении её в среде с постоянной температурой и a = const поле температур определяется функцией

Здесь A_n – постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависит от координат и времени), он найден из начальных условий;

– функция только координаты х, его можно обозначить через V_n;

Экспонента будет убывать пропорционально времени t. Комплекс - постоянное вещественное положительное число.

Причем, для тел других геометрических форм температурное поле описывается уравнением такого же вида. Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей A_n и V_n.

При малых значениях t от t = 0 до t = t₁ распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда.

Этот первый период охлаждения называется неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания).

Рис. 18 Охлаждение тела во времени

Начиная с некоторого момента времени t > t₁ начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами.

Температурное поле описывается первым членом ряда:

При этом избыточная температура не зависит от начального распределения температуры.

При длительном охлаждении (t ® ¥) все точки тела принимают одинаковую температуру, равную Т_ж, то есть наступает стационарное состояние.

Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на 3 стадии: