Движений твердого тела

Сравнивая формулы динамики точки или поступательно движущего­ся тела с формулами вращательного движения тела, легко заметить, что эти формулы по структуре аналогичны. Чтобы из формул поступательно­го движения получить формулы вращательного движения, необходимо вместо силы подставить вращающий момент, вместо линейного переме­щения — угловое перемещение, вместо линейной скорости — угловую скорость, вместо линейного ускорения — угловое ускорение, а вместо массы — момент инерции тела относительно оси вращения.

Сравнение формул поступательного и вращательного движений удобно провести с помощью табл. 17.1.

Таблица 17.1

Пример 17.3.Вычислить кинетическую энергию колеса радиусом r,массой т, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра тяжести С колеса рана _С Колесо считать сплошным однородным цилиндром (рис. 17.6).

Решение. Решим данный пример двумя способами. Как известно из кинема­тики, сложное плоскопараллельное движение колеса можно рассматривать либо как простейшее вращательное движение вокруг мгновенной оси О с угловой ско­ростью со (метод мгновенных центров скоростей), либо как сложное движение, состоящее из поступательного движения со скоростью v_c и относительного вра­щательного движения вокруг оси С (метод разложения плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное). Напомним, что абсолютная (мгно­венная) и относительные угловые скорости колеса всегда равны между собой.

1. Метод мгновенных центров скоростей. В этом случае кинетическая энергия колеса вычисляется по формуле

где Jo — момент инерции колеса относительно мгновенной оси вращения О. Момент инерции относительно оси О равен

Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно его гео­метрической оси вычисляют по формуле

Теперь вычислим кинетическую энергию ко­леса:

2. Метод разложения плоско­параллельного движения на по­ступательное и вращательное.В этом

случае кинетическая энергия колеса равна сумме кине­тических энергий в поступательном и вращательном движениях:

Пример 17.4. Груз Q,опускаясь, вращает однородный цилиндр, сила тяжести которого G,а радиус r (рис. 17.7). Пренебрегая трением на оси цилиндра, найти натяжение S нити, угловую скорость и ускорение цилиндра, когда груз Q опустится на расстояние h. Вначале систе­ма находилась в покое.

Решение. Для решения задачи расчленим систему на две части и рассмотрим отдельно поступательное движение груза и вращательное движение цилиндра. Так как на систему действуют постоянные силы, то груз и цилиндр будут двигаться с постоянными ускорениями а (груз) и (цилиндр).

Линейное ускорение а груза равно касательному ускорению точек, лежащих на поверхносги цилиндра:

где — угловое ускорение цилиндра.

По условию начальная скорость ₀ = 0, а конечную скорость груза, прошед­шего путь h с постоянным ускорением а, определим из формулы кинематики:

откуда

Далее воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии матери­альной точки и применим ее к грузу, движущемуся поступательно:

Подставив выражения массы, скорости и работы, получим

Отсюда реакция S нити равна

Далее запишем уравнение вращательного движения цилиндра

Вращающий момент

а момент инерции цилиндра вычислим по формуле

Подставив эти выражения в уравнение вращательного движения, получим

Отсюда определим угловое ускорение цилиндра:

Теперь можно определить угловую скорость цилиндра:

Подставив значение углового ускорения, получим

откуда

В заключение определим угловую скорость цилиндра с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы тел. Учитывая, что вначале система находилась в покое, что работа силы тяжести цилиндра равна нулю (точка ее приложения не перемещается), и пренебрегая трением, будем иметь

где

Подставив значения, получим

Отсюда