Уравнение вращательного движения

Твердого тела

Пусть твердое тело под действием системы сил вращается вокруг не­подвижной оси z с угловым ускорением (рис. 17.2).

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами т_i и применим принцип Даламбера. К каждой материальной точке приложены касатель­ная и нормальная силы инерции. Составим уравнение равновесия:

Моменты реакций подшипника и подпятника, а также сил отно­сительно оси z равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось; сумма моментов внешних сил относительно оси вращения называ­ется вращающим моментом. Тогда

называют моментом инерции тела

относительно оси и обозначают J:

Момент инерции тела относительно оси есть сумма произведений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат рас­стояний от них до этой оси.

В результате получаем формулу

которая называется уравнением вращательного движения твердого тела. В этой формуле J — момент инерции тела относи­тельно оси вращения.

Поясним более подробно новое понятие момента инерции тела.

Единица момента инерции:

Рассмотрим следующий пример.

Пусть требуется сообщить двум одинаковым шарам (рис. 17.3) оди­наковое угловое ускорение . Так как r₁ > r₂,то J₁> J₂.Опытным путем, а также с помощью уравнения вращательного движения можно убедиться в том, что для сообщения этим системам одинакового углового ускорения потребуется приложить разные вращающие моменты:

Разделим первое уравне­ние на второе:

Следовательно, чем боль­ше момент инерции тела, тем

больший вращающий момент надо приложить, чтобы сообщить телу заданное угловое ускорение.

Из изложенного ясно, что момент инерции играет во вращательном движении такую же роль, какую масса играет в поступательном движении, следовательно, момент инерции есть мера инертности вращающегося тела.

В качестве примера вычислим момент инерции тонкого однородного сплошного диска, радиус которго R,толщина s,масса т, относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей че­рез его центр О (рис. 17.4).

Разобьем диск на элементарные кольца переменного радиуса r,ши­риной dr и толщиной s. Согласно определению, момент инерции такого кольца равен

где — плотность материала диска.

Так как масса диска т = R2s , то

Просуммировав моменты инерции всех элементарных колец, полу­чим момент инерции всего диска:

Нетрудно понять, что момент инерции однородного сплошного пря­мого кругового цилиндра радиусом R и массой т любой высоты будет вычисляться по такой же формуле. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить весь цилиндр плоскостями, параллельными основанию, на тонкие диски и просуммировать моменты инерции всех дисков.

Моменты инерции для некоторых других однородных тел определя­ются по формулам, которые приведем без выводов:

1) шар массой m, радиусом R относительно диаметра

2) тонкий стержень массой m, длиной l относительно оси, проходя­щей перпендикулярно стержню через его конец,

3) тонкая сферическая оболочка массой т,радиусом R относительно диаметра

4) пустотелый вал массой т, наружным радиусом R и радиусом от­верстия r относительно оси

Момент инерции J_z тела относительно какой-либо оси z,параллель­ной центральной (т. е. проходящей через центр тяжести С тела), равен центральному моменту инерции J_С плюс произведение массы т тела на квадрат расстояния а между этими осями:

Из этой формулы следует, что из всех моментов инерции тела отно­сительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции относи­тельно центральной оси, т. е. центральный момент инерции.

Иногда момент инерции определяют по формуле

где r_и — радиус инерции тела;

Физический смысл радиуса инерции заключается в следующем: если массу тела сосредоточить в одной точке (такая масса называется приве­денной) и разместить ее от оси вращения на расстоянии, равном радиусу инерции, то момент инерции приведенной массы будет равен моменту инерции данного тела относительно той же оси.

Удвоенный радиус инерции называется диаметром инерции:

В практике иногда вместо момента инерции пользуются понятием махового момента .

Маховым моментом называется произведение силы тяжести G вращающегося тела на квадрат его диаметра инерции.

Единица махового момента

Между маховым моментом и моментом инерции существует простая зависимость

или

Пример 17.1.Тонкий однородный стержень силой тяжести G,длиной l = = 150 мм совершает колебательное движение в вертикальной плоскости под дей­ствием силы тяжести; точка подвеса совпадает с концом стержня (рис. 17.5). Оп­ределить угловое ускорение стержня в тот момент, когда он составляет с вертика­лью угол = /6 рад.

Решение. По условию задачи стержень однородный, следовательно, его центр тяжести находится посередине. Применим уравнение вращательного движения тела

Вращающий момент равен моменту силы тяжести отно­сительно оси вращения стержня:

Подставим выражения вращающего момента и момента инерции в уравне­ние вращательного движения:

и определим угловое ускорение:

Пример 17.2.Маховой момент ротора электродвигателя равен 2,7 Н м². Вращающий момент Т = 40 Н м. Определить время разгона, если конечная ско­рость вращения ротора = 30 рад/с.

Решение. Так как на ротор действует постоянный вращающий момент, то движение ротора будет равноускоренным. Запишем уравнение угловой скорости этого движения, учитывая, что ₀ ⁼ 0:

откуда

Далее применим уравнение вращательного движения ротора

Из этого равенства определим время разгона, выразив момент инерции ро­тора через маховой момент, который равен 4gJ: