Теорема об изменении кинетической энергии

Механической энергией называют энергию перемещения и взаимодействия тел. Механическая энергия бывает двух видов: кинетиче­ская и потенциальная.

Кинетической энергией, или энергией движения, называется энергия, которой обладает всякая материальная точка при движении. Ки­нетическая энергия есть динамическая мера движения материальной точки.

Кинетическая энергия материальной точки равна половине произ­ведения массы точки на квадрат ее скорости:

Кинетическая энергия — величина скалярная и всегда положительная. Единица кинетической энергии:

Кинетическая энергия имеет размерность работы. Связь ме­жду кинетической энергией и работой устанавливает теорема об измене­нии кинетической энергии, формулируемая так: изменение кинетиче-

ской энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же пути. Докажем эту теорему для самого общего случая движения материальной точки, т. е. для случая криволинейного движения под действием переменной силы (рис. 16.2). Запишем для этой точ­ки основное уравнение динамики:

где F — действующая на точку сила; а — полное ускорение точки; т — масса точки.

Спроецируем это векторное равенство на направление скорости v точки:

Как известно из кинематики,

следовательно,

Умножив обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds, получим

Выражение, стоящее в левой части равенства, преобразуем следую­щим образом:

следовательно,

Интегрируя обе части этого равенства в пределах для скорости от ₀ до и для пути от 0 до s:

получаем

где W—работа силы F на пути s. Теорема доказана.

При замедленном движении ( < ₀) составляющая F_t, вызывающая касательное ускорение a_t, будет направлена в сторону, противоположную направлению вектора скорости v, и работа силы F будет отрицательной.

Составляющая F_n, вызывающая нормальное ускорение a_n, работы не совершает, так как эта составляющая в каждый данный момент перпен­дикулярна элементарному перемещению точки приложения силы F.

Если к материальной точке приложено несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ этих сил:

Пример 16.2. Главную часть прибора для испытания материалов ударом составляет стальная тяжелая отливка М, прикрепленная к стержню, который может вращаться почти без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О (рис. 16.3). Пренебрегая массой стержня, рассматриваем отливку М как матери­альную точку, для которой расстояние МО = 0,918 м. Определить скорость этой точки в наинизшем положении В, если она падает из наивысшего положения А с ничтожно малой начальной скоростью.

Решение. Обозначим силу тяжести отливки G. Применив принцип осво-бождаемости и теорему об изменении кинетической энергии и рассматривая от­ливку как материальную точку, на которую действуют сила тяжести G и реакция N стержня, направленная вдоль стержня, получим

Согласно теореме о работе силы тяжести, имеем

Работа реакции N равна нулю, так как момент этой силы относительно оси вращения стержня равен нулю. Силой трения, по условию, пренебрегаем.

Подставим это выражение работы в первую формулу и, учитывая, что ₀ = 0, получим

Сократим обе части равенства на G и подставим числовые значения, тогда

Пример 16.3. По рельсам, проложенным по пути АВ и образующим затем петлю радиуса г, катится вагонетка М силой тяжести G (рис. 16.4). С какой высо­ты Н нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него?

Решение. Рассмотрим вагонетку как материальную точку. Для решения за­дачи применим теорему об изменении кинетической энергии на пути ABC:

причем работа W_N нормальной реакции N рельсов равна нулю. На основании теоремы о работе силы тяжести

Так как, по условию, ₀ = 0, а т = G/g, то, подставив эти выражения в пер­вую формулу, получим

откуда

(16.1)

Далее применим принцип Даламбера. Приложим к вагонетке центробежную силу инерции , спроецируем действующие на вагонетку силы на ось у и составим уравнение равновесия:

где N— реакция рельсов.

Очевидно, что наименьшее значение центробежной силы , при котором вагонетка не отделится от рельсов, будет при N = 0. При этом

Отсюда

(16.2)

Сравнивая выражения (16.1) и (16.2) и приравняв их правые части, получаем

откуда

Очевидно, что значение высоты Н,найденное из этого выражения, мини­мально.

Обращаем внимание на то, что при решении не принимаются во внимание силы трения и сопротивления воздуха. Поэтому для выполнения мертвой петли практически необходимо, чтобы Н > 2,5г.