Закон сохранения механической энергии

Энергию взаимодействия между телами называют потенциаль­ной. Потенциальной энергией обладают, например, натянутый лук со стрелой или сжатая пружина.

Всякая материальная точка, поднятая на определенную высоту h,также обладает некоторой энергией, которая называется энергией поло­жения и является потенциальной энергией. Мерой потенциальной энер­гии в этом случае служит работа, которую произведет точка при свобод­ном падении.

Полагая величину h небольшой по сравнению с размерами Земли, а поэтому считая постоянной силу тяжести G, получим выражение для по­тенциальной энергии П:

Потенциальная энергия тела, поднятого на определенную высоту, есть величина относительная, зависящая от системы отсчета, по отноше­нию к которой вычисляется эта энергия.

Пусть материальная точка массой т, падая под действием одной лишь силы тяжести G, в положении М₁находилась на высоте h₁имела скорость v₁и обладала потенциальной энергией П₁(рис. 16.5). В положе­нии М₂ точка оказалась на высоте h₂ , причем ее скорость стала v₂,а по­тенциальная энергия П₂.

При падении точки под действием одной лишь силы тяжести совер­шается работа

Согласно теореме, доказанной в предыдущем параграфе, эта работа равна изменению кинетической энергии:

или

следовательно,

или

Это равенство является математиче­ским выражением закона сохра­нения механической энер­гии, который формулируется так: при движении материальной точки под

действием одной лишь силы тяжести сумма потенциальной и кинети­ческой энергий есть величина постоянная.

На основании закона сохранения механической энергии нетрудно доказать, что если тело боросить с поверхности Земли вертикально вверх, то его кинетическая энергия в нижнем положении будет равна потенци­альной энергии в наивысшем положении.

Этот закон справедлив при движении под действием любой потенци­альной силы; при действии же непотенциальных сил (например, силы трения) механическая энергия переходит в другие виды энергии.

Закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения материи и энергии, выведенного М. В. Ломо­носовым (1711—1765). В установлении этого закона состоит одна из ве­личайших для своего времени заслуг Ломоносова.

Ранее, в § 9.1, говорилось о возникновении в XX в. теории относи­тельности, созданной А. Эйнштейном и к настоящему времени получив­шей широкое применение в науке и технике.

Одним из важнейших выводов теории относительности является закон пропорциональности энергии и массы тела. Математическое выражение этого закона имеет следующий вид:

где Е — полный запас энергии тела (включающий в себя механическую, тепловую, химическую, электромагнитную, ядерную энергию, а также энергию частиц, входящих в состав атома); т — масса тела; с — скорость света.

На основании приведенного выше равенства, называемого формулой Эйнштейна, нетрудно подсчитать, что одному грамму массы соответству­ет 25 млн. кВгч энергии (1кВч ч = 3,6 10⁶ Дж).

Формула Эйнштейна имеет самое непосредственное отношение к от­крытию и использованию ядерной (атомной) энергии. Именно на основа­нии этой формулы было установлено существование огромных запасов новых видов энергии и найдены пути ее использования. В 1954 г. в нашей стране была пущена первая в мире электростанция на атомной энергии мощностью 5000 кВт.

Пример 16.4. Материальная точка брошена с Земли вертикально вверх с на­чальной скоростью _{0 .}Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) вы­соту h максимального подъема точки, 2) скорость , которую будет иметь точка на высоте h/2 при падении.

Решение. Для решения первой части задачи запишем выражения кинетиче­ской и потенциальной энергии в момент начала движения:

где m — масса материальной точки.

Согласно закону сохранения механической энергии,

или

Отсюда, сократив обе части равенства на m, определим высоту h максималь­ного подъема точки

Для решения второй части задачи запишем выражения кинетической и по­тенциальной энергий на высоте h /2:

Согласно закону сохранения механической энергии,

или

Отсюда, сократив обе части равенства на m и сделав приведение подобных членов, определим скорость:

Подставив найденное ранее значение h, получим

Глава 17