Формулы и графики равнопеременного

Движения точки

Как было установлено ранее, при равнопеременном движении каса­тельное ускорение есть величина постоянная:

Отсюда

Интегрируя это выражение, получаем

где ₀— начальная скорость.

Формула скорости в окончательном виде

Так как

то, интегрируя это выражение, получаем формулу перемещений (расстоя­ний от начального положения)

где s₀ — начальное расстояние.

Полагая s₀= 0, запишем формулы равнопеременного движения точки:

Если точка совершает криволинейное движение, то она имеет нор­мальное ускорение

а модуль ее полного ускорения определится по формуле

Если точка движется прямолинейно, то а_n=0, а полное ускорение равно касательному: а = а_t.

В равноускоренном дви­жении направление вектора ускорения совпадает с на­правлением вектора скоро­сти; в равнозамедленном движении вектор ускорения направлен в сторону, об­ратную вектору скорости.

Формулу перемещений (расстояний от начала от­счета) преобразуем, исклю­чив из нее время t. Из фор­мулы скорости имеем

тогда

После преобразований получим

В некоторых случаях при решении задач удобно пользоваться фор­мулой перемещений равнопеременного движения в ином виде. Так как

Графики ускорения, скорости и перемещения точки при прямоли­нейном равнопеременном движении представлены на рис. 9.12.

Кривая перемещений (расстояний) при равнопеременном движении представляет собой параболу.

Из высшей математики известно, что если построить график какой-то функции у =f(x),то в любой точке этого графика

где — угол, который составляет в этой точке касательная к кривой с положительным направлением оси абсцисс.

Применяя это положение к изображенным на рис. 9.12 графикам движения точки и учитывая масштабы пути и времени, получим

где ₁ — угол между касательной к графику перемещения и положитель­ным направлением оси времени; _s— масштаб пути, выражаемый в м/мм; _t — масштаб времени, выражаемый в с/мм.

Из изложенного следует, что если касательная к кривой перемеще­ний составляет острый угол с положительным направлением оси времени, то в этот момент скорость точки положительная; при тупом угле скорость точки в этот момент отрицательная. Если касательная в какой-то точке кривой перемещений параллельна оси времени, то скорость точки в этот момент равна нулю (рис. 9.12).

Аналогичная связь имеется между графиками скорости и ускорения прямолинейного движения точки, а именно

где — угол между касательной к графику скорости и положительным направлением оси времени; ( — масштаб скорости, выражаемый в (м/с)/мм.

Нужно обратить внимание на то, что кривая перемещений при рав­ноускоренном движении имеет выпуклость, направленную вниз (вторая производная перемещения по времени положительна), а при равнозамед-ленном движении — выпуклость, направленную вверх (вторая производ­ная перемещения по времени отрицательна).

Пример 9.7. Вагон скатывается по наклонной плоскости с ускорением а = 0,2 м/с². Какую скорость разовьет вагон в конце наклонной горки, длина кото­рой 250 м? Начальная скорость вагона ₀= 1 м/с.

Решение. Для определения скорости движения вагона в конце наклонной горки применим формулу

Из этой формулы найдем

Подставляя значения величин и извлекая квадратный корень, получаем