На координатную ось

Если движение точки задано естественным способом, то ее ускоре­ние определяют с помощью теоремы о проекции ускорения на касатель-

ную и нормаль; если движение точки задано координатным способом — то с помощью теоремы о проекции ускорения на координатную ось.

Теорема.Проекция ускорения на координатную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени.

Из доказанной в предыдущем параграфе теоремы видно, что проек­ция скорости точки на координатную ось равна скорости проекции точки на ту же ось.

Аналогичное положение будет справедливо и для ускорения точки, т. е. проекция ускорения точки на координатную ось равна ускорению проекции точки на ту же ось. Так как проекции точек на оси движутся прямолинейно, то, согласно § 9.5,

Зная две проекции ускорения, можно найти модуль и направление полного ускорения по формулам: модуль ускорения

направление ускорения

Пример 9.9. Движение точки определяется уравнениями

(t — в секундах, х и у — в метрах). Определить модуль и направление скорости и ускорения в момент времени t = 2 с.

Решение. Для определения модуля и направления скорости точки применим теорему о проекции скорости на координатную ось. Продифференцировав по времени уравнения движения точки, получим:

Модуль скорости точки определим по формуле

Подставив значение времени t = 2с, получим

Направляющий косинус определим по формуле

Для определения модуля и направления ускорения точки применим теорему о проекции ускорения на координатную ось. Второй раз продифференцировав по времени уравнения движения точки, получим:

Модуль ускорения точки определяем по формуле

Направляющий косинус определится по формуле

есть величина положительная.

Так как направление вектора скорости в любой момент времени остается не­изменным, то движение точки является прямолинейным и полное ее ускорение можно определить по формуле

Глава 10