На касательную и нормаль
Проекция полного ускорения на нормаль к траектории называется нормальным ускорением; проекция полного ускорения на касательную к траектории называется касательным ускорением. Касательное ускорение иногда называют тангенциальным.
Теорема.Нормальное ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке, касательное ускорение — первой производной скорости по времени.
Пусть задано плоское движение точки М по траектории АВ (рис. 9.8). За время t точка перешла из положения М в положение М1,пройдя при этом путь s = OMM1.
Вектор приращения скорости за время t равен
Определим вектор среднего ускорения:
отложим этот вектор из точки М параллельно вектору v.
Спроецируем вектор аср на касательную и нормаль, точку D также спроецируем на касательную.
Рассмотрим подобные треугольники CDF и МКН.Из подобия этих треугольников имеем
откуда
Перейдем к пределу при t,стремящемся к нулю (при этом и s также стремятся к нулю):
Вычислим первый предел при t,стремящемся к нулю:
так как
Вычислим второй предел при t, стремящемся к нулю:
так как
(предел второго слагаемого равен нулю, так как он представляет собой произведение конечных величин, умноженных на нуль).
Итак,
и теорема доказана.
Анализируя формулы касательного и нормального ускорений, можно видеть, что если нет изменения скорости по модулю, то ; если нет изменения скорости по направлению (прямолинейное движение), то . Отсюда следует, что касательное ускорение характеризует изменение скорости только по модулю, а нормальное — только по направлению.
Зная касательное и нормальное ускорения, можно вычислить модуль и направление полного ускорения по формулам:
модуль ускорения |
направление ускорения |
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. Из § 2.3 нам известно, что если оси взаимно перпендикулярны, то проекции вектора на эти оси и его составляющие, направленные по этим осям, равны по модулю.
Касательное, нормальное и полное ускорения изображены на рис. 9.9.
Если то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным. Если
вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.
Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому это ускорение иначе называют центростремительным.
Пример 9.5. Точка обода маховика в период разгона движется согласно уравнению s = 0,1t3 (t— в секундах, s — в метрах). Радиус маховика равен 2 м. Определить нормальное и касательное ускорения точки в момент, когда ее скорость =30 м/с.
Решение. Для определения скорости вычислим производную пути по времени:
откуда
Для этого момента следует определить нормальное и касательное ускорения точки. Находим касательное ускорение как производную скорости по времени:
Подставляем в выражение для касательного ускорения значение t = 10 с:
Нормальное ускорение точки определяем по формуле
Для момента времени t =10 с находим
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 345;