На касательную и нормаль

Проекция полного ускорения на нормаль к траектории называется нормальным ускорением; проекция полного ускорения на каса­тельную к траектории называется касательным ускорением. Касательное ускорение иногда называют тангенциальным.

Теорема.Нормальное ус­корение равно квадрату ско­рости, деленному на радиус кривизны траектории в дан­ной точке, касательное уско­рение — первой производной скорости по времени.

Пусть задано плоское дви­жение точки М по траектории АВ (рис. 9.8). За время t точка перешла из положения М в положение М₁,пройдя при этом путь s = OMM₁.

Вектор приращения скорости за время t равен

Определим вектор среднего ускорения:

отложим этот вектор из точки М параллельно вектору v.

Спроецируем вектор а_ср на касательную и нормаль, точку D также спроецируем на касательную.

Рассмотрим подобные треугольники CDF и МКН.Из подобия этих треугольников имеем

откуда

Перейдем к пределу при t,стремящемся к нулю (при этом и s также стремятся к нулю):

Вычислим первый предел при t,стремящемся к нулю:

так как

Вычислим второй предел при t, стремящемся к нулю:

так как

(предел второго слагаемого равен нулю, так как он представляет собой произведение конечных величин, умноженных на нуль).

Итак,

и теорема доказана.

Анализируя формулы касательного и нормального ускорений, можно видеть, что если нет изменения скорости по модулю, то ; если нет изменения скорости по направлению (прямолинейное движение), то . Отсюда следует, что касательное ускорение характеризу­ет изменение скорости только по модулю, а нормальное — только по направлению.

Зная касательное и нормальное ускорения, можно вычислить модуль и направление полного ускорения по формулам:

Часто касательное и нормальное ускоре­ния рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускоре­ния, т. е. как векторные величины. Из § 2.3 нам известно, что если оси взаимно перпендикулярны, то проекции вектора на эти оси и его составляющие, направленные по этим осям, равны по модулю.

Касательное, нормальное и полное ускорения изображены на рис. 9.9.

Если то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным. Если

вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому это ускорение иначе называют центростремительным.

Пример 9.5. Точка обода маховика в период разгона движется согласно уравнению s = 0,1t³ (t— в секундах, s — в метрах). Радиус маховика равен 2 м. Определить нормальное и касательное ускорения точки в момент, когда ее ско­рость =30 м/с.

Решение. Для определения скорости вычислим производную пути по времени:

откуда

Для этого момента следует определить нормальное и касательное ускорения точки. Находим касательное ускорение как производную скорости по времени:

Подставляем в выражение для касательного ускорения значение t = 10 с:

Нормальное ускорение точки определяем по формуле

Для момента времени t =10 с находим