Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник.Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник.Пусть дан треугольник ABD (рис. 8.4). Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD.Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Вd,следователь-

но, на этой медиане будет лежать центр тяжести всей площади треуголь­ника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные сторо­не АВ, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD, сле­довательно, центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересе­чения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пе­ресекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2 от основания. Из подобия треугольников CNd и BMd получим

Следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит на рас­стоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу АВ окружности радиусом R с цен­тральным углом 2 (рис. 8.5). Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось х делила дугу попо­лам, тогда у_C = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси х. Опреде­лим x_C.

Разобьем дугу АВ на элементарные части l_i, одна из которых изобра­жена на чертеже. Тогда, согласно § 8.2,

Дугу l_i, вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия OD_iC_i и элементарного S (на чертеже заштрихован) получим

Тогда

так как y_i =АВ, а l_i =l — длина дуги АВ.Но АВ = 2Rsin , а l = 2R , следовательно,

При = /2 рад (полуокружность)

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2 (рис. 8.6). Проведем оси координат, как показано на чертеже, тогда у_C = 0. Определим х_С, для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых вследствие малости дуги l_i примем за рав­нобедренный треугольник с высотой R.Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет лежать на дуге радиуса 2R/3и задача опре­деления центра тяжести сектора сведется к определению центра тяжести дуги окружности радиуса 2R/3, следовательно,

При = /2 Рад (полукруг)

Пример 8.1. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, форма которой и размеры в миллиметрах показаны на рис. 8.7.

Решение. Выберем оси координат, как показано на рис. 8.7. Представим себе заданную фигуру состоящей из трех частей: прямоугольника 400 500, полукруга и треугольника, причем площади двух последних частей будем считать отрица­тельными. Тогда

где

Подставив значения и произведя вычисления, получим

Пример 8.2. Определить положение цен­тра тяжести сечения, составленного из двутав­ра № 22 и швеллера № 20, как показано на рис. 8.8.

Решение. Из курса черчения известно, что номер профиля проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сече­ния, выраженному в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутав­ра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси у, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. х_C = 0. По справочнику определим площа­ди и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения

для швеллерного сечения

где d — толщина стенки швеллера; z₀ — размер, определяющий положение цен­тра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения ординаты центра тяжести всего сечения

тогда

Раздел второй

КИНЕМАТИКА

Глава 9

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Основные понятия кинематики и некоторые