Методы нахождения центра тяжести

Рассмотрим три метода нахождения центра тяжести: метод симмет­рии, метод разбиения и метод отрицательных масс.

Метод симметрии. Представим себе однородное тело, которое име­ет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси х и z лежали в плоскости симметрии (рис. 8.3).

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести G _i с абсциссой

y _i = +а соответствует такая же элемен­тарная частица с абсциссой у _i = -а, тогда

Отсюда следует вывод: если одно­родное тело имеет плоскость симмет­рии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения: если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;

если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяже­сти находится в точке их пересечения;

центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения. Метод разбиения. Этот метод заключается в том, что тело разбива­ют на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тя­жести которых известны, после чего применяют выведенные ранее фор­мулы.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G^’, G^’’, G^’’’, абсциссы центров тяжести этих частей , , известны. Возьмем формулу для определения абсциссы центра тяжести всего тела

и перепишем ее в следующем виде:

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела от­дельно:

Сложив правые и левые части этих трех равенств, получим

Но правая часть последнего равенства представляет собой произве­дение Gx_C,так как

следовательно,

Полученные формулы аналогичны формулам для определения коор­динат центров тяжести, выведенным в предыдущем параграфе. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементар­ных частиц G_i, а силы тяжести конечных частей; под координатами х_i, y_i, z_i понимают координаты центров тяжести частей, на которые тело разбито.

Метод отрицательных масс.Этот метод заключается в том, что те­ло, имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу свобод­ных полостей считают отрицательной. Вид формул для определения ко­ординат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу свободных полостей отрицательной.