VI. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
§22. Ротатор. Собственные функции и собственные значения
операторов орбитального момента импульса
& Литература: [1], [3], [8], [7].
Центральным полем называют поле, потенциальная функция которого зависит только от расстояния до некоторого центра. При движении в таком поле сохраняется момент импульса частицы. Это справедливо как для корпускулы, так и для микрочастицы. Простейшим примером движения в центральном поле является движение гантели вокруг цента масс, которое сводится к движению одной m-точки вокруг этого центра. Рассмотрим квантовомеханический аналог такого движения.
Ротатором называют систему, описываемую гамильтонианом
= 2 / (2 I), (22.1)
где 2 – оператор квадрата момента импульса, а I – момент инерции. Примером ротатора является двухатомная молекула, если расстояние между ее атомами можно считать неизменным.
Стационарное уравнение Шредингера для ротатора Y = E Y сводится к уравнению 2 Y = L2 Y, (22.2)
которое определяет собственные значения L2 и собственные функции Y оператора квадрата момента импульса 2. Значение задачи о моменте импульса далеко выходит за рамки проблемы собственно ротатора.
Задача решается в сферической системе координат. Оператор квадрата момента импульса в этой системе имеет вид:
2 = – ħ 2 . (22.3)
Он зависит только от сферических координат q и j. Подстановка (22.3) превращает (22.2) в известное в математике уравнение для сферических функций. Этим уравнением занимался еще А. М. Лежандр задолго до создания квантовой механики.
Уравнение для сферических функций имеет непрерывное и конечное решение только при условии: L2 = ħ2 l (l + 1) . (22.4)
В этом случае сферические функции выражаются через присоединенные полиномы Лежандра Pl½m½(cos q), аргументом которых является cos q:
Y l m (q, j) = N l m Pl½m½(cos q) exp (i m j). (22.5)
Коэффициенты N l m – нормирующие множители, а числа m для обеспечения однозначности волновой функции вида (22.5) могут принимать лишь следующие значения: m = l, l–1, ¼ –l .
Так получаются собственные функции (22.5) и собственные значения (22.4) оператора 2 . l – орбитальное квантовое число. Смысл квантового числа m выясняется при подстановке (22.5) в уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса = – i ħ :
Y l m = LZ Y l m . (22.6)
Это равенство становится тождеством при LZ = ħ m. (22.7)
Таким образом, квантовое число m является квантовым числом проекции момента импульса (магнитным квантовым числом).
Из (22.5) следует, что величина |Y l m|2 = r(q) не зависит от j, то есть пространственное распределение плотности вероятности симметрично относительно оси z, от которой отсчитывается координатный угол q. По этой причине пространственное распределение плотности вероятности изображается с помощью полярных диаграмм r(q).
Квантование квадрата момента импульса (22.4) определяет энергетический спектр ротатора: E = l (l + 1). (22.8)
Формула (22.8) согласуется с наблюдаемыми на опыте ротационными спектрами молекул.
? Контрольные вопросы
1. Для каких систем применима модель ротатора?
2. Какое отношение к ротатору имеет задача о нахождении собственных функций и собственных значений операторов момента импульса?
3. Расскажите о том, как находятся собственные значения операторов момента импульса?
4. Расскажите о полярных диаграммах, отражающих собственные функции операторов момента импульса.
5. Расскажите об энергетическом спектре ротатора.
|
25.1.Получите соотношение (22.7).
25.2.Нарисуйте полярные диаграммы для p-состояний. Опишите такие распределения частиц, находящихся на поверхности шара, которые соответствуют этим диаграммам.
25.3.Докажите, что ротационные спектры молекул удовлетворяют соотношению: w = (ħ / I) l. Учтите, что орбитальное квантовое число l при излучении должно изменяться только на единицу.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 843;