Лабораторная работа №2


Численные методы решения скалярных уравнений

Цель работы:сформировать у студентов представление о применении уравнений в различных областях деятельности, привить знания об основных этапах решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения и выбора того или иного программного средства для проверки правильности найденного результата.

 

Метод хорд

Пример 2.1.

Решить уравнение ех ∙ (2 – х) – 0,5 = 0 методом хорд с точностью ɛ = 0,001.

 

Решение.

1. Отделяем корни.Этот этап решения осуществляется с помощью аналитического или графического метода. После того как корень, подлежащий уточнению, отделен, за начальное приближение может быть выбрана любая точка [a,b] (начало отрезка, его середина и т.д.).

Воспользуемся графическим методом. Построим график функций и найдем точки пересечения его с осью Ох (рис.2.1.).

f(x) = (2 – x) (ex) – 0,5

 

x = -4, -3,99..5

 

 

 

Рис.2.1. Отделение корней графически

Получили два интервала: [-3; -2], [1,5; 2,5]. Интервал, в котором мы будем уточнять корень – [1,5; 2,5].

2. Уточняем корни. Находим первую производную функции

f(x) = ex ∙ (2 – x) – 0,5:

 

 

3. Определяем знакиf(x) на отрезке [1,5; 2,5]:

f(1,5) = 1,741>0, f(2,5) = -6,591<0

Значит, на данном отрезке действительно существует корень нашего уравнения.

4. Строим последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд и проанализируем результаты вычисленных значений последовательности хп (рис.1.2). Для этого рассмотрим значения функции dz(xn) – эта величина является критерием достижения заданной точности ɛ = 0,001. Начиная с п = 8, значение хп удовлетворяют критерию достижения заданной точности (ɛ > 8,801∙ 10-4), значит х8 = 1,927 является решением нашего уравнения.

п = 0...10

х0

 

 

Рис. 2.2. Проверка критерия достижения

заданной точности

 

5. Создаем функцию, реализующую вычисления корня уравнения

ех (2 – х) – 0,5 = 0 на отрезке [1,5; 2,5] с точностью ɛ = 0,001 методом хорд (рис. 2.3). Решением будет являться число 1,927, получившееся на третьем шаге решении

 

Рис.2.3. Функция, возвращающая значения корня уравнения методом хорд.

Аргументы функции: а, b – концы отрезка; – погрешность вычислений,

f 1pr(x) – функция первой производной

 

6. Проверяем решение уравнения встроенными функциями Матhcad

 

1) х = 2

хl = root(f(x),x) xl = 1,927

 

2) Given

(2 – x)∙(eX) – 0,5 = 0

 

x2 = Find(x) x2 = 1,927

 

 

Метод касательных

Пример 2.2.

Вычислить методом касательных корень уравнения ех∙(2 – х) –0,5=0 на отрезке[1,5; 2,5] с точностью ɛ = 0,001.

Решение.

1. Отделяем корни уравнения (см. разд. 2.1).

2. Определяем неподвижную точку.

Для этого определим знаки функции и второй производной на отделенном интервале [1,5; 2,5]. Для этого составим функцию, проверяющую условие неподвижности точки

 

а = 1,5 b = 2,5

 

f(x) = (2 – x)(ex) – 0,5

 

 

 

nt = 2.5

 

Тогда подвижной точкой будет точка а = 1,5.

3. Вычисляем значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных (рис. 2.4).

х0 = а

 

 

Рис. 2.4.Построение итерационной последовательности

по методу касательных

 

Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения будет значение

х4 = 1,927 при п = 4, т.к. 2,367∙10-5 ˂ 0,001.

4. Создаем функцию, реализующую метод касательных (аналогично методу хорд).

5. Проверяем полученные результаты.

Отметим, что в пакете Mathcad имеется еще несколько функций, позволяющих решать уравнения, например, функция solve, вызываемая с панели Symbolic (рис. 2.5.)

 

 

Рис. 2.5. Панель Symbolic

 

Пример использования команды solve представлен на рис. 2.6.

 

 

Рис.2.6. Решение уравнения с помощью команды solve



Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 537;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.