Лабораторная работа №2
Численные методы решения скалярных уравнений
Цель работы:сформировать у студентов представление о применении уравнений в различных областях деятельности, привить знания об основных этапах решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения и выбора того или иного программного средства для проверки правильности найденного результата.
Метод хорд
Пример 2.1.
Решить уравнение ех ∙ (2 – х) – 0,5 = 0 методом хорд с точностью ɛ = 0,001.
Решение.
1. Отделяем корни.Этот этап решения осуществляется с помощью аналитического или графического метода. После того как корень, подлежащий уточнению, отделен, за начальное приближение может быть выбрана любая точка [a,b] (начало отрезка, его середина и т.д.).
Воспользуемся графическим методом. Построим график функций и найдем точки пересечения его с осью Ох (рис.2.1.).
f(x) = (2 – x) (ex) – 0,5
x = -4, -3,99..5
Рис.2.1. Отделение корней графически
Получили два интервала: [-3; -2], [1,5; 2,5]. Интервал, в котором мы будем уточнять корень – [1,5; 2,5].
2. Уточняем корни. Находим первую производную функции
f(x) = ex ∙ (2 – x) – 0,5:
3. Определяем знакиf(x) на отрезке [1,5; 2,5]:
f(1,5) = 1,741>0, f(2,5) = -6,591<0
Значит, на данном отрезке действительно существует корень нашего уравнения.
4. Строим последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд и проанализируем результаты вычисленных значений последовательности хп (рис.1.2). Для этого рассмотрим значения функции dz(xn) – эта величина является критерием достижения заданной точности ɛ = 0,001. Начиная с п = 8, значение хп удовлетворяют критерию достижения заданной точности (ɛ > 8,801∙ 10-4), значит х8 = 1,927 является решением нашего уравнения.
п = 0...10
х0=а
Рис. 2.2. Проверка критерия достижения
заданной точности
5. Создаем функцию, реализующую вычисления корня уравнения
ех∙ (2 – х) – 0,5 = 0 на отрезке [1,5; 2,5] с точностью ɛ = 0,001 методом хорд (рис. 2.3). Решением будет являться число 1,927, получившееся на третьем шаге решении
Рис.2.3. Функция, возвращающая значения корня уравнения методом хорд.
Аргументы функции: а, b – концы отрезка; – погрешность вычислений,
f 1pr(x) – функция первой производной
6. Проверяем решение уравнения встроенными функциями Матhcad
1) х = 2
хl = root(f(x),x) xl = 1,927
2) Given
(2 – x)∙(eX) – 0,5 = 0
x2 = Find(x) x2 = 1,927
Метод касательных
Пример 2.2.
Вычислить методом касательных корень уравнения ех∙(2 – х) –0,5=0 на отрезке[1,5; 2,5] с точностью ɛ = 0,001.
Решение.
1. Отделяем корни уравнения (см. разд. 2.1).
2. Определяем неподвижную точку.
Для этого определим знаки функции и второй производной на отделенном интервале [1,5; 2,5]. Для этого составим функцию, проверяющую условие неподвижности точки
а = 1,5 b = 2,5
f(x) = (2 – x)(ex) – 0,5
nt = 2.5
Тогда подвижной точкой будет точка а = 1,5.
3. Вычисляем значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных (рис. 2.4).
х0 = а
Рис. 2.4.Построение итерационной последовательности
по методу касательных
Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения будет значение
х4 = 1,927 при п = 4, т.к. 2,367∙10-5 ˂ 0,001.
4. Создаем функцию, реализующую метод касательных (аналогично методу хорд).
5. Проверяем полученные результаты.
Отметим, что в пакете Mathcad имеется еще несколько функций, позволяющих решать уравнения, например, функция solve, вызываемая с панели Symbolic (рис. 2.5.)
Рис. 2.5. Панель Symbolic
Пример использования команды solve представлен на рис. 2.6.
Рис.2.6. Решение уравнения с помощью команды solve
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 529;