Дифференциальные тензоры

Составим диадное произведение вектора набла и какого-нибудь переменного вектора, например .

Помня, что умножить на составляющую символического вектора - это значит продифференцировать по соответствующей координате, находим:

(3.44)

Этот тензор по аналогии с градиентом скалярной величины (см. формулу 3.33) назовем градиентом вектора:

(3.42)

Его составляющие легко выявляются, если рассмотреть диадные произведения ортов на скалярные производные от вектора в равенстве (3.41), и записываются в виде матрицы:

Примечание:

Свойство сопряженного тензора:

Величина произведения вектора на тензор, не изменится, если при перестановке сомножителей тензор заменить на сопряженный.

(3.43)

Умножим тензор grad на дифференциал радиус вектора слева:

(3.44)

Полученное соотношение совершенно аналогично (3.37) полному дифференциалу скалярной функции. Т.е. имеем:

(3.44а)

Если в тензоре (3.43) заменить элементы строк на элементы столбцов, то получим сопряженный тензор:

(3.45)

Если в другой записи (с учетом (3.6) и (3.7)):

(3.46)

но по свойству сопряженного тензора равенство (3.44а) можно переписать в следующем виде:

(3.47)

Следовательно, тензор ( ∙ )* можно рассматривать как производную от векторной функции по векторному аргументу .