Векторы и тензоры в гидродинамике

Введение аппарата векторно-тензорного анализа позволяет существенно сократить многие выкладки и сосредоточить внимание на сущности рассматриваемых явлений, что в значительно большей степени отвечает духу и физическому содержанию гидродинамики, чем рассмотрение ее с использованием аппарата «обыкновенной» математики.

Тензоры

В нашем курсе гидромеханики с тензорными величинами много работать не придется, поэтому ограничимся лишь самими необходимыми сведениями.

Рассмотрим операцию деления векторов. Пусть есть частное от деления векторов и :

(3.1)

Пока не интересуяся тем, как выполняется деление, поставим перед собой вопрос: какого класса есть величина ? (т.е. что это – скаляр, вектор или нечто новое?)

Перепишем (3.1) так:

(3.2)

Допустим, что - это скаляр. Тогда векторы и отличаются только модулем, направление же их либо одинаково, либо противоположено, т.е. эти векторы коллинеарны.

Таким образом очевидно, что скаляром быть не может, так как этой величиной мы определили частное от деления двух любых векторов, а не только коллинеарных.

Рассуждая подобным образом, легко установим, что не может принадлежать и к классу векторов, поскольку тогда под следует понимать векторное произведение и, значит векторы и должны быть взаимно перпендикулярны.

Таким образом ни скаляр, ни вектор не могут в общем случае представлять результат частного деления двух произвольно выбранных векторов.

Остается заключить,что есть величина иного ранга, которая называется тензором.

Из равенства (3.2) следует, что вектор будучи умножен на тензор , дает новый вектор .

Таким образом равенство (3.2) можно рассматривать как определение тензора, т.е. под тензором будем понимать новую величину, которая преобразует один вектор в другой.

Преобразование одного вектора в другой (в нашем примере в ) можно осуществлять различными способами. Можно, к примеру, взять составляющие исходного вектора , , и просто изменить длину каждого из них, что эквивалентно умножению скалярных величин В_х, В_y, В_z на некоторые числа _xx, _yy, _zz.

В результате получим:

(3.3)

Но это далеко не самый общий вид преобразования, а один из наиболее простых.

Вообще, говоря о преобразовании векторов, целесообразнее было бы ввести более широкое представление о такой операции.

Очевидно, что если вместе с изменением длины каждого из векторов , , будет осуществлен их поворот на некоторые углы в пространстве, то сумма этих новых векторов дает вместо исходного вектора другой вектор .

Формально результат такого преобразования будет состоять в замене векторов , , векторами , , такими, что

(3.4)

Сопоставляя равенства (3.4) и (3.2), можно утверждать, что векторы , , образуют тензор .

Замечание:

Тензор не есть сумма векторов , , , а совокупность этих векторов составляет тензор. Это аналогично тому, что совокупность скалярных величин В_х, В_y, В_z составляют вектор .

Условно это можно записать так:

(3.5)

Двойная черта, ограничивающая матрицу, ставится для того, чтобы отличить ее от определителя, в котором предполагаются некоторые действия над его элементами, в то время как в матрице эти действия не подразумеваются.

(3.6)

Зная, что векторы , , , имеют проекции на оси координат, равные α_xx, α_xy, α_xz, α_yx, α_yy, α_yz и т.д., тензор можно представить таблицей (матрицей) из девяти скалярных величин:

(3.7)

В записи (3.7) тензора α первый индекс означает строку, а второй столбец, встречается такая запись:

(3.8)

Такой тензор называют тензором второго ранга (по числу индексов у компонент).

Тензор – более общее понятие, чем вектор или скаляр. Компоненты вектора имеют один индекс (смотри запись (3.5)) или т.е. вектор может быть записан матрицей (таблицей) из одного столбца.

Вектор называют тензором первого ранга.

Скаляр, представляемый буквой без индекса (a = a(x,y,z)), называют тензором нулевого ранга.

Тензор второго ранга (3.7) в общем случае записывается девятью функциями трех переменных.

Замечание:

Вектор может быть получен из вектора с помощью неединственной тройки векторов , , .

Существует бесчисленное множество комбинаций векторов , , (т.е. бесчисленное количество тензоров α), которые преобразуют вектор в один и тот же вектор . Это значит, что операция деления векторов многозадачна, она не дает единственного результата (именно по этому и не употребляется в векторном исчислении).

Однако если тензор α уже определен, то умножение его на вектор приводит к единственному решению и использование такой операции вполне целесообразно.