Площадь поверхности тела вращения

Рассмотрим тело, получаемое вращением криволинейной трапеции.

Будем предполагать, что функция непрерывная и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка . Разобьём кривую на части точками и проведем хорды . Длины хорд обозначим через . Каждая хорда длины при вращение опишет усеченный конус, площадь поверхности которого:

, где

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, следовательно, на отрезке существует точка такая, что , следовательно, площадь поверхности усеченного конуса может быть представлена в виде: .

Площадь поверхности, образованная всеми усеченными конусами, определяется:

Принято считать, что площадь поверхности тела вращения определяется пределом:

(3)

Таким образом, необходимо вычислить предел (3).

Представим величины в виде .

Подставляя в (3) получим:

Величина первого предела определяется определенным интегралом:

Сумма двух бесконечно малых величин представляет собой бесконечно малую величину, поэтому второй предел можно представить в виде:

, где - бесконечно малая величина.

Оценим выражение, стоящее под знаком второго предела. По определению бесконечно малой величины для положительной величины найдется такое положительное число , что для всех величин будет выполняться неравенство: .

Следовательно,

Таким образом, показали, что второй предел равен нулю при , и при стремлении диаметра разбиения к 0.

Следовательно, площадь поверхности тела вращения при сделанных ограничениях на функцию определяется выражением:

.

Пример: Определить площадь поверхности параболоида, образованного путём вращения параболы вокруг оси ох, при изменении х на отрезке .

,

.