Несобственные интегралы первого рода.
Могут встретиться три типа бесконечных областей:
1) полупрямая
2) полупрямая
3) вся бесконечная прямая
Рассмотрим функцию , определенную на полупрямой . Пусть A- некоторая точка полупрямой, большая чем а(A>a) и пусть функция интегрируема на отрезке , принадлежащим рассматриваемой полупрямой. Тогда на полупрямой можно рассмотреть функцию
(1).
Определение: Предел функции при , если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции по полупрямой и обозначается
(2).
При этом говорят, что несобственный интеграл (2) сходится. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Таким образом:
(3).
Пример1: Для тела, полученного вращением гиперболы x*y=1 вокруг оси ох вычислить объем и боковую поверхность части, определяемой неравенством: .
Возьмем некоторое значение A и вычислим объем тела на отрезке
Естественно под подразумеваем предел: , т.е. .
Решим вопрос о площади боковой поверхности бесконечного тела. .
Очевидно, что функция => .
Таким образом, получаем, что . Переходя к пределу, получим, что S рассматриваемого тела будет бесконечно большой: Таким образом, интеграл, задающий S рассматриваемого тела, расходится.
Пример2: Если в электрической цепи с самоиндукцией в момент времени t=0 ток силы разомкнуть, то в цепи возникнет экстра ток размыкания . Вычислить полное количество теплоты выделяемое этим током. Количество тепла, выделяемое на отрезке определяется выражением:
, тогда всё джоулевое тепло будет определяться:
.
Аналогично с определением несобственного интеграла от , вводится понятия несобственного интеграла от до , этот интеграл принято обозначать . Если рассматривается вся числовая прямая от до , то несобственный интеграл записывается в виде:
причём и стремиться к бесконечностям не зависимо друг от друга. Из этих определений следует, что если для некоторого числа сходятся несобственные интегралы и , то будет сходится и имеет место равенство .
Отметим также, если сходится и - некоторые число, то сходится интеграл , причём имеет место равенство
Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 1147;