Несобственные интегралы первого рода.

Могут встретиться три типа бесконечных областей:

1) полупрямая

2) полупрямая

3) вся бесконечная прямая

Рассмотрим функцию , определенную на полупрямой . Пусть A- некоторая точка полупрямой, большая чем а(A>a) и пусть функция интегрируема на отрезке , принадлежащим рассматриваемой полупрямой. Тогда на полупрямой можно рассмотреть функцию

(1).

Определение: Предел функции при , если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции по полупрямой и обозначается

(2).

При этом говорят, что несобственный интеграл (2) сходится. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Таким образом:

(3).

Пример1: Для тела, полученного вращением гиперболы x*y=1 вокруг оси ох вычислить объем и боковую поверхность части, определяемой неравенством: .

Возьмем некоторое значение A и вычислим объем тела на отрезке

Естественно под подразумеваем предел: , т.е. .

Решим вопрос о площади боковой поверхности бесконечного тела. .

Очевидно, что функция => .

Таким образом, получаем, что . Переходя к пределу, получим, что S рассматриваемого тела будет бесконечно большой: Таким образом, интеграл, задающий S рассматриваемого тела, расходится.

Пример2: Если в электрической цепи с самоиндукцией в момент времени t=0 ток силы разомкнуть, то в цепи возникнет экстра ток размыкания . Вычислить полное количество теплоты выделяемое этим током. Количество тепла, выделяемое на отрезке определяется выражением:

, тогда всё джоулевое тепло будет определяться:

.

Аналогично с определением несобственного интеграла от , вводится понятия несобственного интеграла от до , этот интеграл принято обозначать . Если рассматривается вся числовая прямая от до , то несобственный интеграл записывается в виде:

причём и стремиться к бесконечностям не зависимо друг от друга. Из этих определений следует, что если для некоторого числа сходятся несобственные интегралы и , то будет сходится и имеет место равенство .

Отметим также, если сходится и - некоторые число, то сходится интеграл , причём имеет место равенство