Длина дуги, заданная параметрически.

Пусть кривая задана параметрически

причем и , обладают непрерывными производными на отрезке , причем , . Ранее было показано, что длина дуги, заданная явным уравнением, определяется интегралом: . Производная -функции заданной параметрическими вычисляется в виде: = . Перейдем в определенном интеграле от переменной х к переменной t, в результате получим: = , таким образом, длина дуги заданная параметрически, определяется интегралом: .

Пример:Вычислить длину астроиды. Уравнение астроиды имеет вид: .

Астроида получается при движении точки окружности радиуса r, при качении её по внутренней стороне окружности радиуса R=4r.

Используя основное тригонометрическое тождество , введем параметризацию астроиды:

, . Таким образом получаем, . Уравнение астроиды симметрично относительно начала координат, и для вычисления длины астроиды, вычислим длину дуги в первой четверти и умножим на 4.

= .

В случае кривой заданной параметрически в трехмерном пространстве:

.

Длина кривой определяется формулой:

.