Длина дуги, заданная параметрически.
Пусть кривая задана параметрически
причем и , обладают непрерывными производными на отрезке , причем , . Ранее было показано, что длина дуги, заданная явным уравнением, определяется интегралом: . Производная -функции заданной параметрическими вычисляется в виде: = . Перейдем в определенном интеграле от переменной х к переменной t, в результате получим: = , таким образом, длина дуги заданная параметрически, определяется интегралом: .
Пример:Вычислить длину астроиды. Уравнение астроиды имеет вид: .
Астроида получается при движении точки окружности радиуса r, при качении её по внутренней стороне окружности радиуса R=4r.
Используя основное тригонометрическое тождество , введем параметризацию астроиды:
, . Таким образом получаем, . Уравнение астроиды симметрично относительно начала координат, и для вычисления длины астроиды, вычислим длину дуги в первой четверти и умножим на 4.
= .
В случае кривой заданной параметрически в трехмерном пространстве:
.
Длина кривой определяется формулой:
.
Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 2751;