Длина дуги кривой в декартовой прямоугольной системе координат.

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая заданная на отрезке . Функция - обладает непрерывной производной на отрезке . Найдём длину дуги АВ этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми . Возьмём на дуге АВ точки с абсциссами .

Соединим выбранные точки хордами, получим ломаную линию, вписанную в дугу .

. длина ломаной . Длиной S дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю.

.

Покажем, что предел существует.

Рассматриваемая функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Согласно этой теоремы .

Следовательно, .

Таким образом, длина ломаной равна .

Выписанную сумму можно рассматривать как интегральную сумму на отрезке . Функция стоящая под знаком суммы непрерывна, согласно сделанным предположениям, и следовательно существует предел интегральной суммы, который равен определённому интегралу

Пример:Вычислить длину окружности

.

Следовательно,