Длина дуги кривой в декартовой прямоугольной системе координат.


Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая заданная на отрезке . Функция - обладает непрерывной производной на отрезке . Найдём длину дуги АВ этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми . Возьмём на дуге АВ точки с абсциссами .

Соединим выбранные точки хордами, получим ломаную линию, вписанную в дугу .

. длина ломаной . Длиной S дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю.

.

Покажем, что предел существует.

Рассматриваемая функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Согласно этой теоремы .

Следовательно, .

Таким образом, длина ломаной равна .

Выписанную сумму можно рассматривать как интегральную сумму на отрезке . Функция стоящая под знаком суммы непрерывна, согласно сделанным предположениям, и следовательно существует предел интегральной суммы, который равен определённому интегралу

Пример:Вычислить длину окружности

.

 

Следовательно,

 

 



Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 1473;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.