АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный и «метрео» измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии

 

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение: Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

 

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I1. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение:

А, В, С, D точки;

а, b, с прямые;

a , b , g плоскости;

А Î а точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод: Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I2. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

 
 


Обозначение: а = АВ

Вывод: Прямые, имеющие две различные общие точки, совпадают.

I3. Прямая, проходящая через две любые точки плоскости, лежит в этой плоскости.

 
 


Обозначение:

а Ì a плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a плоскость a не проходит через прямую b.

I4. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение: a = АВС

Вывод: Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

 

I5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение: М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

 
 


Обозначение: АВ ³ 0.

II2. Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А.

Обозначение: АВ = ВА.

II3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

Обозначение: АС £ АВ + ВС .

III. Аксиомы порядка

III1. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О.

 
 


III2. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а.

 
 


III3. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.

III4. Любая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А, В, А1, В1 лежат в плоскости a, причем АВ > 0 и АВ = А1В1, то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А1 а точку В на точку В1.

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.






Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 5033; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.