ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Теорема: Для того, чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы прямая была параллельна некоторой прямой, принадлежащей плоскости.

1. Необходимый признак: Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой, принадлежащей плоскости.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Выберем на плоскости a произвольную точку М: МÎa .

Через прямую l и непринадлежащую ей точку М проведем плоскость b: l Ì b , МÎb .

Плоскости a и b пересекаются по прямой т, проходящей через их общую точку М (аксиома I₅).

Согласно вспомогательной теореме прямая l, принадлежащая плоскости b и параллельная плоскости a, будет параллельна прямой пересечения плоскостей a и b, то есть .

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Через параллельные прямые l и т проведем плоскость b. Плоскости a и b пересекаются: , так как т Ì a и т Ì b.

Предположим, что прямая l пересекает плоскость a: . Следовательно, точка М принадлежит прямой пересечения плоскостей a и b: М Î т.

А значит, , что противоречит условию .Получили противоречие с условием теоремы, следовательно, предположение не верно. А значит, .

Вывод: Чтобы доказать, что данная прямая параллельна данной плоскости, надо назвать (найти) в этой плоскости прямую, параллельную данной прямой.

Упражнения: