Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей

Лемма 5.1. Из m элементов a₁,…,a_n первой группы и n элементов b₁,…,b_n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (a_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждой группы.

(a₁, b₁), (a₁, b₂), …, (a₁, b_n), Всегоm∙n пар

(a₂, b₁), (a₂, b₂), …, (a₂, b_n), m строк

… … … … … … ...

(a_m, b₁), (a_m, b₂), …, (a_m, b_n).

n столбцов

Пример 5.2.В колоде карт 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт или по 13 карт, тогда в колоде либо n=4∙9=36 карт, либо n=4∙13=52 карты.

Лемма 5.3. Из n₁ элементов первой группы a₁, a₂,…, ,

n₂ элементов второй группы b₁, b₂,…, ,

и т.д. … … … … … … … …

n_k элементов k-той группы x₁, x₂,…, .

можно составить ровно n₁ ∙ n₂ ∙…∙ n_k различных упорядоченных комбинаций вида ( …, ), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Пример 5.4.При бросании двух игральных костей число различных упорядоченных комбинаций следующее: N = 6² = 36;при бросании трех костей – N=6³=216.

Леммы 5.1 и 5.3 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов { a₁, a₂,…, a_n}. Будем рассматривать выборки объёма k вида ( , , …, ) из n элементов. Все выборки можно классифицировать по двум признакам:

1) упорядоченные и неупорядоченные;

2) с возвращением и без возвращения.

Если выборки считаются упорядоченными, то играет роль порядок элементов в выборке. Если же выборка неупорядоченная, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример 5.5.Рассмотрим множество, состоящее из трёх элементов {1,2,3}. Составим таблицу числа выборок объёма k=2 из трёх элементов.

Общая таблица числа выборок объёма из элементов:

nk		с возвращением
		без возвращения
упорядоченные	неупорядоченные	выборки

Определение 5.6.Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением.

Число размещений = .

Пример 5.7. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

Ω={(i₁, i₂, i₃) | i₁, i₂, i₃ {2,3,…,12}},{ i₁ i₂, i₂ i₃} – дополнительное условие для события А. Первое (Ω – упорядоченные выборки с возвращением, n=11³. Число благоприятствующих исходов k= = =9∙10∙11. По классическому определению вероятности Р(А)= = = = .

Определение 5.8.Перестановкойиз kэлементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Число перестановок из k элементов P_k=k! (0!=1).

Определение 5.9.Произвольное k-элементное подмножество множества, состоящего из n элементов, называется сочетаниемиз n элементов по k элементов.

Обозначается число сочетаний из n элементов по k элементов через

= ; k {0,1,…,n}.

Свойства сочетаний:

1) = =1;

2) = =n;

3) = ;

4) + = .