Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей

 

Лемма 5.1. Из m элементов a1,…,an первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (ai, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы.

 

(a1, b1), (a1, b2), …, (a1, bn), Всегоm∙n пар

(a2, b1), (a2, b2), …, (a2, bn), m строк

… … … … … … ...

(am, b1), (am, b2), …, (am, bn).

n столбцов

Пример 5.2.В колоде карт 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт или по 13 карт, тогда в колоде либо n=4∙9=36 карт, либо n=4∙13=52 карты.

Лемма 5.3. Из n1 элементов первой группы a1, a2,…, ,

n2 элементов второй группы b1, b2,…, ,

и т.д. … … … … … … … …

nk элементов k-той группы x1, x2,…, .

можно составить ровно n1 ∙ n2 ∙…∙ nk различных упорядоченных комбинаций вида ( …, ), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Пример 5.4.При бросании двух игральных костей число различных упорядоченных комбинаций следующее: N = 62 = 36;при бросании трех костей – N=63=216.

Леммы 5.1 и 5.3 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов { a1, a2,…, an}. Будем рассматривать выборки объёма k вида ( , , …, ) из n элементов. Все выборки можно классифицировать по двум признакам:

1) упорядоченные и неупорядоченные;

2) с возвращением и без возвращения.

Если выборки считаются упорядоченными, то играет роль порядок элементов в выборке. Если же выборка неупорядоченная, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

 

Пример 5.5.Рассмотрим множество, состоящее из трёх элементов {1,2,3}. Составим таблицу числа выборок объёма k=2 из трёх элементов.

 

(1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3) (3,1), (3,2), (3,3) (1,1), (1,2), (1,3) (2,2), (2,3) (3,3) с возвращением
(1,2), (1,3) (2,1), (2,3) (3,1), (3,2) (1,2), (1,3) (2,3) без возвращения
упорядоченные неупорядоченные выборки

 

Общая таблица числа выборок объёма из элементов:

nk с возвращением
без возвращения
упорядоченные неупорядоченные выборки

Определение 5.6.Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением.

Число размещений = .

Пример 5.7. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

Ω={(i1, i2, i3) | i1, i2, i3 {2,3,…,12}},{ i1 i2, i2 i3} – дополнительное условие для события А. Первое (Ω – упорядоченные выборки с возвращением, n=113. Число благоприятствующих исходов k= = =9∙10∙11. По классическому определению вероятности Р(А)= = = = .

Определение 5.8.Перестановкойиз kэлементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Число перестановок из k элементов Pk=k! (0!=1).

Определение 5.9.Произвольное k-элементное подмножество множества, состоящего из n элементов, называется сочетаниемиз n элементов по k элементов.

Обозначается число сочетаний из n элементов по k элементов через

= ; k {0,1,…,n}.

Свойства сочетаний:

1) = =1;

2) = =n;

3) = ;

4) + = .






Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1503; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.