Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности
Пусть Ω пространство элементарных исходов, F – множество всех подмножеств Ω. Любому событию A F ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью события A, при этом выполняются аксиомы теории вероятности:
Аксиома 4.1. Вероятность произвольного события неотрицательна, т.е. A F, P(A) 0.
Аксиома 4.2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(Ω)=1.
Аксиома 4.3. (счетной аддитивности) Если A1, A2,… F и Ai∙ Aj=Ø (i j), то P(A1+ A2+…) = P(A1)+P( A2)+… или P( ) = .
Определение 4.4.Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами.
Все другие множества называются несчетными (например, множество точек [a,b] ненулевой длины).
Определение 4.5. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечное или счетное, т.е. Ω={ω1, … , ωn} или Ω={ω1, ω2,… }.
Любому элементарному исходу ωi ставится в соответствие число p(ωi), так что при этом =1.
Определение 4.6. Вероятностью события A называется число P(A)= .
Пример 4.7. Бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения нечетного числа очков.
p(ωi)= , i =1,..,6, P(A)= p(ω1, ω3, ω5)= + + = = .
Сформулируем следующие предположения:
1. Пространство элементарных исходов конечно: Ω={ω1, … , ωn}.
2. Все элементарные исходы равновероятны (равновозможны), т.е. p(ω1)= p(ω2)=…= p(ωn).
Поскольку =1, то p(ωi)= , i =1,..,n.
Рассмотрим некоторое событие A Ω, состоящее из k элементарных исходов, k n, A={ , ,…, }.
Вероятность события P(A)= = = .
Определение 4.8. (классическое определение вероятности) Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятность события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих A, к общему числу всех возможных элементарных исходов P(A)= .
Пример 4.9.Бросается две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб.
Ω={(г,г), (г,р), (р,г), (р,р)}, n=4.
A={(г,г), (г,р), (р,г)}, k=3.
Таким образом, P(A)= = .
Пример 4.10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?
Ω={(i,j) | i,j {1,..,6}}, n=36,
A={ (6,1), (5,2), (4,3), (3,5), (2,5), (1,6)}, k=6,
Таким образом, P(A)= = = .
Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 2615;