Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности

Пусть Ω пространство элементарных исходов, F – множество всех подмножеств Ω. Любому событию A F ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью события A, при этом выполняются аксиомы теории вероятности:

Аксиома 4.1. Вероятность произвольного события неотрицательна, т.е. A F, P(A) 0.

Аксиома 4.2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(Ω)=1.

Аксиома 4.3. (счетной аддитивности) Если A₁, A₂,… F и A_i∙ A_j=Ø (i j), то P(A₁+ A₂+…) = P(A₁)+P( A₂)+… или P( ) = .

Определение 4.4.Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами.

Все другие множества называются несчетными (например, множество точек [a,b] ненулевой длины).

Определение 4.5. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечное или счетное, т.е. Ω={ω₁, … , ω_n} или Ω={ω₁, ω₂,… }.

Любому элементарному исходу ω_i ставится в соответствие число p(ω_i), так что при этом =1.

Определение 4.6. Вероятностью события A называется число P(A)= .

Пример 4.7. Бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения нечетного числа очков.

p(ω_i)= , i =1,..,6, P(A)= p(ω₁, ω₃, ω₅)= + + = = .

Сформулируем следующие предположения:

1. Пространство элементарных исходов конечно: Ω={ω₁, … , ω_n}.

2. Все элементарные исходы равновероятны (равновозможны), т.е. p(ω₁)= p(ω₂)=…= p(ω_n).

Поскольку =1, то p(ω_i)= , i =1,..,n.

Рассмотрим некоторое событие A Ω, состоящее из k элементарных исходов, k n, A={ , ,…, }.

Вероятность события P(A)= = = .

Определение 4.8. (классическое определение вероятности) Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятность события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих A, к общему числу всех возможных элементарных исходов P(A)= .

Пример 4.9.Бросается две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб.

Ω={(г,г), (г,р), (р,г), (р,р)}, n=4.

A={(г,г), (г,р), (р,г)}, k=3.

Таким образом, P(A)= = .

Пример 4.10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Ω={(i,j) | i,j {1,..,6}}, n=36,

A={ (6,1), (5,2), (4,3), (3,5), (2,5), (1,6)}, k=6,

Таким образом, P(A)= = = .