Определение отображения множеств

Наряду с понятиями множества и элемента множества в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие присутствует неявным образом при описании понятия множества: каждому из элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является ли этот элемент элементом данного множества или нет. Среди всевозможных соответствий важнейшими в математике являются функции, или отображения множеств.

Определение отображения множеств или функции

Пусть заданы непустые множества Xи Y. Соответствие, при котором каждому элементу соответствует единственный элемент , называется отображением множества X в множество Y или функцией, определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y.

Иллюстрация к понятию отображения множества Xв множество Y, то есть к понятию функции приведена на рис. 28.

Рис. 28

каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент .

Пример 1 (соответствия, не являющиеся функциями)

1)		не каждому элементу поставлен в соответствие элемент ;
2)		хотя бы одному элементу поставлены в соответствие два элемента .

Обозначения для отображения множеств, или функции

Отображение множеств, или функция обозначается одним из следующих способов:

§ , ;		§ ;		§ , , ;
§ ;		§ .

При этом элемент называется независимой переменной, или аргументом функции; соответствующий ему элемент называется зависимой переменной; говорят, что между элементами x и y существует функциональная зависимостьf.

Множество X называется множеством задания функцииf(или множеством определения f). Множество тех элементов , каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному элементу , называется множеством значений функцииf и обозначается :

.

Очевидно, что , то есть множество значений функции является подмножеством множества Y, в частности, может совпадать с Y.

Пример 2 (отображение множеств)

1) X — множество треугольников на плоскости,

Y — множество положительных действительных чисел;

площадь треугольника S — это есть функция, определенная на множестве X и принимающая значения в множестве Y, или отображение множества X в множество Y, то есть ;

если Р – это периметр треугольника, то ;
если M – это длина наибольшей медианы треугольника, то ;

2) функция :

; ;

3) функция :

; ; ; ;

4) последовательность с общим членом есть функция, отображающая множество натуральных чисел в множество действительных чисел ;

например, : ;

5) функция Дирихле: .