Азы наивной теории множеств

В фундаменте современных математических теорий лежат понятия множества, элемента множества, отношения принадлежности элемента множеству. Интуитивный смысл этих понятий ясен: под множеством понимают совокупность некоторых объектов (которые называются элементами данного множества), мыслимых как единое целое. Для обозначения того, что объект a является элементом множества А, пишут a Î А (а принадлежит А). Вместо отрицания используется запись а Ï А (а не принадлежит А).

Наиболее употребительны следующие два способа задания множеств:

· перечисление элементов(используется в основном для множеств, состоящих из конечного числа элементов). Например, А = {1, 2, –5, 3} – множество А состоит из элементов 1, 2, –5, 3. Элементами множеств могут быть и объекты различной природы. Так, множество А = {1, {1}, a} состоит из числа 1, одноэлементного множества {1} (содержащего единственный элемент – число 1) и буквы а.

· выделение множества в другом множестве с помощью характеристического свойства его элементов:если В – множество и P(x) – некоторое свойство (высказывание о произвольном элементе x Î B), то можно определить новое множество А всех элементов x множества В, удовлетворяющих свойству P, написав А = {x Î B | P(x) (= 1)}. Так, R₊ = {x Î R | x > 0} – множество всех положительных действительных чисел.

Замечание: одно и то же множество можно задать различными способами: например, {–1, 1} = {r Î R | r² = 1} = {n Î Z | |n| = 1}. Поэтому важно ввести понятие равенства двух множеств.

Два множества А и В называются равными(символически А = В), если они состоят из одних и тех же элементов. Это значит, что для любого элемента а Î А выполнено а Î В, и для любого элемента b Î B выполняется b Î A. В противном случае множества А и В называются неравными: А ¹ В.

Множество А называют подмножеством множестваВ (говорят также, что А содержится в В или В содержит А) и записывают А Í В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В.

Для удобства вводят в рассмотрение пустое множествоÆ , не имеющее ни одного элемента. Ясно, что для любого множества А верно Æ = {x Î A | x Ï A}.

Примеры: 1. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Хотя порядки перечисления элементов этих множеств и различны, но каждый элемент одного множества является элементом другого множества, что и обеспечивает их равенство.

2. {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 2, 1, 3}. Второе множество, хотя и выглядит толще первого, но на самом деле состоит их тех же элементов.

3. {1, 2, 3} ¹ {3, {1}, 2}. Элемент 1 первого множества не является элементом второго множества. Точно так же Элемент {1} второго множества не является элементом первого множества. Кстати, почему 1 ¹ {1} ?

4. А = {1, 2} ¹ {1, 2, –1} = В, т.к. –1 Î В, но –1 Ï А,но {1, 2} Í {1, 2, –1}, т.к. 1 Î В и 2 Î В.

5. N = {1, 2, 3, …} Í Z = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …} Í Q = { Î R | m Î Z Ù n Î N} Í R .